图 2 刚柔耦合系统实验
三、 国内机械系统动力学仿真软件开发的建议
国内 CAE 的发展并不平衡。 在 CAD 自主软件的开发上， 我国许多院校与研究单 位作出巨大的努力，取得了可喜的成果，为我国制造业的工程设计自动化作出了巨大 贡献。相对而言，在 CAA 自主软件的开发上有不小差距。在大型的通用软件方面， 上海交通大学的 CADAMB 的功能已具一定的规模，在数学模型、计算方法与求解器 方面具有一定的特点， 在工程应用特别在航天器系统姿态耦合动力学的仿真与总体设 计中已经发挥重要作用。 尽管如此， 国内 CAE 的发展还存在不少问题： (1)与我国 CAD 软件相比， CAA 软件的用户界面，前后处理与国外软件有较大的差距。(2)CAD 与 CAA 软件之间没 有做到紧密的联系与无缝连接。 (3)在 CAE 软件的产业化方面与国外软件相比问题不 少。 据此，特对我国 CAE 的自主创新的发展建议如下： (1) 加强我国 CAD 与 CAA 软件开发团队的强强联合，实现多学科人员的结合。 在已经成熟成果的基础上，实现 CAD 与 CAA 软件之间的无缝连接。为我国工程设 计提供若干个与国外软件可以相左的自主的 CAE 软件。 (2) 针对我国国情，利用当前的成果，在行业的层面上提供有特色的 CAE 软件， 为行业新产品的开发提供有效的工具，提高他们在行业中的竞争力 (3) 对于 CAA 软件，仍需加强支撑软件的计算多体系统动力学的建模理论、计 算方法的深入研究。从数值仿真与软件开发的角度，研究具有数值性态好的刚柔耦合 的动力学数学模型，仍然是研究的核心。继续发挥国内在这方面的优势，让软件的可 靠性与其他性能上具有国际竞争力。 (4) 当前的大量的工程对象的设计必须考虑机械系统与电系统的耦合，机械系统 与其他控制系统的耦合等等。 如笔者在参与的低压短路器仿真软件系统的开发就是典 型的机-电系统的耦合。目前在多物理场工程问题的数值仿真中，尚处在利用各物理 场模型的简单迭代层面上，其精度与收敛性方面均存在不少问题。因此当前需注意加 紧多物理场工程问题 CAE 的理论、方法与软件工程的建设。从 CAE 自主创新角度， 这方面的建设将具有国际竞争力。
一、 前言
众所周知，由于国内外制造业的工程设计与优化的需求，无论在功能还是用户界 面的友好等方面，目前机械系统的 CAE 大型软件都已经达到相当高的水平。这些软 件从功能上可以分为两大类： 一类如 ProE、 UG 等以计算机辅助设计(CAD)为目标的 工程设计软件；另一类如 ADAMS、DADS 与 RecuDyn 等以系统静力学、运动学、动 力学与控制性态计算机辅助分析 (CAA) 与优化 (CAO) 为目标的系统动力学仿真软 件。 多少年来，我国许多高等院校的机械学科以计算机图学为基础，在以 CAD 为目 标的工程设计软件方面取得成果斐然，开发了许多具有我国知识产权的 CAD 软件， 且在工程中得到应用。 从提高工程设计的效率、减少投资风险与增强产品竞争力的角度，系统动力学仿 真软件在机械系统 CAE 的地位日显重要。CAA 与 CAO 软件的特点是将机械系统抽 象为具有大范围相对运动物体构成的多体力学模型， 利用力学基本原理建立能适用于 任意拓扑的通用与程式化的运动学或动力学数学模型， 通过数值计算得到系统的静力 学、运动学、动力学与控制性态的时间历程，实现对系统设计的分析与优化。这种模 式犹如结构分析软件。如同有限元理论在结构分析软件的地位，机械系统动力学仿真 软件的理论基础是计算多体系统动力学。 以机械系统的构件为刚体假设的多刚体系统

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(1)
其中 p 为低频大范围笛卡儿坐标，a 为高频微小的变形坐标，两种变量的高度耦合， 加上微分-代数方程组数值方法不成熟，很难保证数值的稳定与可靠。 不同推导方法得到的动力学方程尽管形式不同，但是理论上是等价的。然而其数 值求解的性态是不同的。基于这样的思想，如果采用多体系统动力学最小坐标数的建 模方法，得到的方程为纯微分方程：
F q, q ， q M q q

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(3)
其中，为中心刚体定轴转动的转角，a 为悬臂梁的变形坐标。该方程的广义质量阵 M 和广义力阵 F 中计及了大范围运动和高阶变形运动的耦合项。含这种耦合项的刚 柔耦合动力学方程的精度在一次近似的量级上。当这些项不考虑时，方程退化为原零 次近似刚柔耦合动力学方程。 定义为时间的已知函数，方程(3)变为非惯性系下悬臂梁的动力学方程
2. 柔性多体系统刚柔耦合动力学建模理论 近 30 多年来，柔性多体系统刚柔耦合动力学建模理论的前期研究大致分为如下 三个阶段[1]：
(1) 运动-弹性动力学(KED)方法。该方法首先对系统构件作刚体假设，利用多 刚体系统动力学方法进行构件运动分析。然后通过施加惯性力，对构件进行弹性变形 和强度分析。这种方法不计构件大范围运动与弹性变形运动的耦合。由于方法简单， 对于速度不高的机械系统仿真仍然得到应用。 (2) 混合坐标方法。 该方法提出用描述构件大范围运动浮动系的刚体坐标与描述 柔性体变形运动的有限元的节点坐标 (或模态坐标)建立柔性多体动力学离散的数学 模型。这种方法考虑了构件弹性变形与大范围运动的相互耦合。由于对柔性体在线性 的范围离散时没有考虑大范围运动对其的影响， 得到的柔性多体系统耦合动力学方程 的精度实质上处在零次近似范围上。 在解决实际问题中长期困惑此方法的问题是上述 的数值求解的病态。 (3) 动力刚化问题的研究。1987 年 Kane 发现上述零次近似耦合模型在处理高速 旋转的悬臂梁动力学时会得到错误结论。以后的十多年，国内外的学者对该对象，采 用不同的假定，引入所谓的“动力刚度项”对零次近似模型加以修正。但是在如何反 映物体大范围运动与弹性变形的相互耦合，所采用的假定各不相同[1] 。上述的研究 工作说明， 柔性多体系统动力学的建模理论有待解决的实质性问题是需揭示刚柔耦合 的机理，从力学基本原理建立描述刚柔耦合动力学较精确的动力学模型，应通过实验 验证该模型的正确性。 在国家自然科学基金重点项目和教育部博士点基金项目的资助下， 笔者的课题组 在刚柔耦合动力学建模理论研究过程中，基于这样的新思想[3]：(1)建立较精确的刚 柔耦合动力学模型主要目的为有效解决刚-柔耦合多体系统动力学的问题，Kane 的非 惯性系下的结构动力学问题是其的特殊情况；(2)所谓刚柔耦合“动力刚度项”是客 观存在的，不应该通过引入新的假定来“捕捉” 。而且刚柔耦合不只影响“刚度” ，而 且将会对“阻尼”等其他动力学特征产生影响。根据前期研究工作分析认为，造成零 次近似耦合动力学方程缺陷的主要原因是应用没有大范围运动的线性变形场理论结 果，人为地丢失了其二阶项与大范围运动耦合，而这种耦合仍可达到一阶量级。当与 其他一阶项可比时，将会严重影响动力学仿真结果。以中心刚体-悬臂梁系统为对象， 以上述建模理论建立刚柔耦合动力学方程[3]：
机械系统 CAE 与计算多体系统动力学
洪嘉振
（上海交通大学工程力学系）
摘要：本文首先简要介绍机械系统动力学仿真软件与计算多体系统动力学的关系与现状，重点介 绍计算多体系统动力学的理论、计算方法与软件开发方面的主要成果。最后对我国机械系统动力 学仿真软件系统的开发提出一些建议。 关键词：机械系统、动力学仿真、多体系统动力学、CAE 软件。
图 1 对接机构的接触碰撞
二、 计算多体系统动力学的进展
1. 单向递推组集的建模方法[2] 国外的大型动力学仿真软件 ADAMS 与 DADS 称它们能解决柔性多体系统动力 学问题。采用的方法是将应用于多刚体系统的笛卡儿方法进行拓展，即仍然是最大坐 标数的建模方法。其数学模型是微分-代数方程组：
M q qT q F q, q T ，q p q 0 q , q
t a F a, a t K a, t , , t , M a, t a
K 中可导出没有附加任何条件而理论依据严格的“动力刚度项” 。 解释了 非惯性系下的悬臂梁产生动力刚化的根本原因和动力学实质。 找出了零次模型在高速 大范围运动下得到失稳发散错误结论的原因。然而，这是零次近似模型得到错误结果 的极端情况；在大范围运动为低速的情况，由于附加耦合项的作用，有时零次近似模 型的计算的误差也相当可观。 因此需要讨论大范围运动在什么条件下必须应用一次近 似耦合模型才能得到正确的结论的条件。 由方程(3)出发对大范围运动为自由的刚体-悬臂梁两体系统进行数值研究， 首次 发现在一定的初始条件下，传统零次近似模型也会得到系统运动发散错误结果的反 例，而利用一次近似耦合模型的计算能得到符合实际情况的结果。此项成果的意义还 在于对长期困扰柔性多体系统动力学的数值发散问题做出了新的解释， 即计算结果发 散不一定是数值病态方面的原因，而应该注意力学模型是否正确与失效。 利用自行设计的实验方案，通过 单轴气浮台对一柔性梁进行刚 - 柔耦 合动力学试验(见图 2)。 将实验数据与 一次近似模型和零次近似模型的理论 结果进行对照[4]， 观测到一次近似模型 与实验结果吻合相当好。而对于零次 近似模型只有大范围运动角速度在一 定范围内或在比较小的初始条件范围 内才有比较好的对照结果。 这项研究从实验的角度验证了一次近似模型在处理非惯性 系下的结构动力学问题与多体刚柔耦合动力学问题的正确性和有效性。
Bq, q ， q pT Aq q

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(2)
其中 p 为低频大范围拉格朗日坐标，a 为高频微小的变形坐标。从数值方法成熟程度 显然方程(2)优于方程(1)。但是方程(2)的质量阵 A 与力阵 B 中两种坐标变量的耦合程 度将更严重，计算复杂。为了解决此矛盾，笔者采取如下的计算策略：(1) 同时采用 描述系统的笛卡儿坐标与拉格朗日坐标，质量阵 A 与力阵 B 的计算过程实现根据系 统的拓扑向外递推，然后进行组集；(2) 通过推导引入可作前处理的不变量，尽可能 降低两种坐标变量的耦合。通过上述处理大大地减少了计算量，提高了计算的精度。 这种柔性多体系统的单向递推组集的建模方法不追求方程形式上的优美， 而从数 值计算的优化上实现动力学模型算法上的构成，故具有较好的数值性态。根据此方法 开发的具有自主知识产权的软件系统 CADAMB 已经运行了十余年。 基本上排除了动 力学仿真数值病态的困难。在我国多种卫星的总体设计中发挥了作用。例如对我国某 对地探测卫星，利用该仿真软件全面深入研究了的大型帆板的展开和撞击动力学过 程、帆板展开和撞击对卫星姿态的影响等等。该项研究通过评审，评审意见认为软件 系统的数学模型准确、分析结果合理可信，与地面试验结果的趋势吻合，为该卫星的 研制提供了重要的依据。 此外，当构件的柔性不考虑时，该建模方法也可应用于多刚体系统的动力学的仿 真，由于它的递推组集的特征，仿真计算的效率大大地提高。