将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分 是本章讨论数值积分的主要内容。
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得
分,因此将 选(x取) 为插值多项式, 这样f(x)的积分就
可以用其插值多项式的积分来近似代替
2.2 插值求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1, , n) 有函数值 f (xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式
式中
n
P(x) f (xk )lk (x)
k 0
lk (x)
n j0
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
为插值型求积公式的充要条件是公式
(
x)dx
时，则称求积公式为插值
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f (n1) (x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区 间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个 求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式， 是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以 下定义。
数值积分与微分
2009.4.22
数值积分和数值微分
1 引言 我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原
函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
b
求得定积分 f (x)dx F (b) F (a) a 求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的 实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中 经常遇到以下三种情况：
k 0
n
b
n
f (xk ) a lk (x)dx
f ( xk )Ak
k 0
k 0
其中
Ak
b
a lk
(x)dx
b a
(x
( x) xk ) (xk
)
dx
称为求积系数。给出如下定义。
定义1
求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
(4)
k 0
其系数 Ak
求积公式。
b a
l
k
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (a b) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积
分方法。
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函
数值f(a), f(b), f (a b) 的加权平均值
2
1 ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) 作为平均高度f()的近
b f (x)dx (b a) f ( a b)
a
2
aa (a+b)/2 b x
③ Simpson公式
b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y
y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度
2
aa ((aa++bb))//22 bb
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1 sin xdx和 1 ex2 dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，
但表达式太复杂，例如函数
f (x) x2 2x2 3
并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分
后其原函数F(x)为：
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
4
16
16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分
困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的 局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决 Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。
按照这种思想三，可个构求造出积一分些求公积式分值的近似公式。
例如
f ()分别取 f ( ) f (a b)和
2
f
(
)
f
y
(a) f (b)
y2=fy(=xf)(x)
则分别得到中矩形公式和梯
bb x
b
a
f
(x)dx
1(b a) f
2
(a)
f
(b)
y
y=f(x)
② 中矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f ( )
a,b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
f () 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,
因而 f () 的值也是未知的, 称 f ()为f(x) 在区间[a,b]上
的平均高度。那么只要对平均高度 f () 提供一种算法，
相应地就获得一种数值求积方法
定义2 （代数精度） 设求积公式（4）对于一 切次数小于等于m的多项式(
f (x) 1, x, x 2 , , x m
或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）
定理1
n+1个节点的求积公式
x xj xk x j
(x) (x xk )(xk )
jk
这里 (x) (x x0 )( x x1 ) (x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b
a
f (x)dx
的近似值，即
b P(x)dx
作为
a
b
b
bn
f (x)dx P(x)dx
a
a
a
f ( xk )lk ( x)dx
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
（2）先用某个简单函数 (x) 近似逼近f(x), 用 (x)
代替原被积函数f(x)，即
b
b
a f (x)dx a (x)dx
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数
(x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。
由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积