函数的基本性质一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1<x2时，都有f(x1)__ f(x2)，则f(x)为区间M上的增函数．对于任意的x1，x2∈M，当x1<x2时，都有f(x1)__ f(x2)，则f(x)为区间M上的减函数．2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则1f x为减(增)函数，f x为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．四、函数的最大(小)值：定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．五、复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.1．函数单调性的证明方法(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D，且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．(2)设函数y ＝f(x)在某区间D 内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D 内为减函数．2．函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．1.(2010·天津模拟)函数y ＝log 12 (－x 2－2x ＋3)的单调递增区间为________．2.(文)函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( )A .12B ．2C ．4D .143.(文)(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413 ，y 2＝0.513 ，y 3＝0.514，则( )A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 24．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( )A ．y ＝log 0.5(1－x )B ．y ＝x 0.5C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)6．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c7．(文)(2011·北京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1 x ≥01x x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)8．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．4 9．(文)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．10.(文)(2011·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．(文)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝______ (或f (－x )＝_____)成立，则称f (x )为奇函数(或偶函数)． 2．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)． 二、函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得对定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝____，那么函数f (x )叫做周期函数．T 叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T 是f (x )的周期，则kT (k ∈N *)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．1.(2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝x 2－x C ．y ＝2x D ．y ＝x32.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( )A ．y ＝x 2－2x B ．y ＝2xC ．y ＝cos2xD ．y ＝1|x |－13.(文)(2011·辽宁文，6)若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 4.(文)(2011·湖南文，12)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.5．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B.114 C ．1 D ．－1146.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝(12)x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．7．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．88．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )A．－1 B．1 C．－2 D．210．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为( )A．a B．－a C．0 D．2a11．(2011·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋3)＝1－f x，则f(2010)的值为( )A．－2－ 3 B．－2＋ 3 C．2－ 3 D．－3－312．(文)已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。