全等三角形的经典模型（一）题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90° 45 ,45）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题•如图2；图3 图4典题精练【例1】已知：如图所示，Rt△ ABC中，AB=AC, BAC 90° O为BC的中点, ⑴写出点O到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△ OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.【解析】⑴OA=OB=OC⑵连接OA,••• OA=OC BAO C 45° AN=CM• △ ANO 也厶CMO•ON=OMNOA MOCNOA BON MOC BON90NOM90• △ OMN 是等腰直角三角形⑶也ONM依然为等腰直角三角形，证明：•••/ BAC=90°, AB=AC, O 为BC 中点•••/ BAO = Z OAC=Z ABC=Z ACB=45°,••• AO = BO=OC,•••在△ ANO和厶CMO中，AN CMBAO CAO CO•△ ANO ◎△ CMO (SAS)•ON = OM, / AON= / COM ,又•••/ COM / AOM =90°,•△ OMN为等腰直角三角形.【例2】两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M ,连接ME , MC .试判断△ EMC的形状，并说明理由.【解析】△ EMC是等腰直角三角形.证明：连接AM .由题意，得DE AC, DAE BAC 90°, DAB 90°•△ DAB为等腰直角三角形•••• DM MB ,MMDE MAC 105° , ••• △ EDM 也△CAM . ••• EM MC, DME AMC .又 EMC EMA AMC EMA DME 90°. • CM EM ,• △ EMC 是等腰直角三角形.• △ ABM CAF . • AM CF . 在 △ ADM 和△ CDF 中， AD CD DAM C AM CF• △ ADM ◎△ CDF . •- ADB CDF .证法二：如图，作 CM AC 交AF 的延长线于 M . T AF BD , • 3 2 90° •/ BAC 90° , • 1 2 90° • 13.在△ ACM 和△ BAD 中，13AC ABACM BAD 90°• △ ACM ◎△ BAD . • M ADB , AD CM••• AD DC , • CM CD . 在△ CMF 和△ CDF 中， CF CFMCF DCF 45° CM CD【例3】 已知： 点，A 求证： 如图，△ ABC 中，AB AC , \F BD 于E ，交BC 于F ，连接BACDF .ADBCDF . 【解析】 证法一 '：如图，过点 A 作AN BC 于N，交••• AB AC , BAC 90° ,• 3DAM 45°.••• C 45 ° • 3 C .••• AF BD , 1BAE 90°••• BAC 90° , • 2 BAE 90° .• 12 .在△ ABM 和△ CAF 中，1 2AB AC3 CACM••• △ CMF ◎△ CDF • ••• M CDF ••• ADB CDF •【例4】 如图，等腰直角 △ ABC 中，AC BC , ACB 90°, P 为△ ABC 内部一点，满足PB PC , AP AC ，求证：BCP 15 •【解析】补全正方形ACBD ，连接DP ,易证△ ADP 是等边三角形， DAP 60 , BAD 45 ,• BAP 15 , PAC 30 , • ACP 75 ,• BCP 15 •【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较复杂时， 可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果， 从而顺利地求解。

例 4为求角度的应用，其他应用探究如下： 【探究一】证角等【备选1】如图，Rt △ ABC 中，/ BAC=90° , AB =AC , M 为AC 中点，连结 BM ，作AD 丄BM 交BC 于点D ，连结 DM ，求证：/ AMB= / CMD •【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 对称的等腰 Rt △ BFC ，延长AD 交CF 于点N ,•/ AN 丄BM ，由正方形的性质，可得 AN=BM , 易证 Rt △ ABM 也 Rt △ CAN ,AMB= / CND , CN=AM ,•/ M 为 AC 中点，• CM = CN , •••/ 仁/2,可证得△ CMD ◎△ CND , •••/ CND = / CMD , •••/ AMB = / CMD •CF【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt △ ABC 中，/ BAC= 90 ° AB=AC , AD=CE , AN 丄BD 于点 M ，延长BD 交NE 的延长线于点F ，试判定厶DEF 的形状.【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 对称的等腰 Rt △ BHC ,可知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交HC 于点K , •/ AK 丄 BD ，可知 AK=BD ，易证：Rt △ ABD 也 Rt △ CAK ,•••/ ADB=Z CKN , CK=AD , •/ AD = EC , • CK=CE ,易证△ CKN 也厶 CEN , CKN = / CEN , 易证/ EDF = / DEF ,DEF 为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图，Rt △ ABC 中，/ A=90° , AB=AC, D 为 BC 上一点，DE // AC, DF // AB ,且 BE=4,CF=3，求 S 矩形 DFAE .【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 的对称的等腰 可知四边形 ABGC 为正方形，分别延长 Rt △ GCB ,FD 、ED 交 BG 、CG 于点 N 、M , 可知 DN = EB=4 , DM =FC=3,由正方形对称性质， 可知S 矩形DFAE =S 矩形DMGN = DM DN=3 4=12.【探究四】求线段长【备选4】如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于点D ，/ BAC=45° , BD=3, CD=2，求AD 的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形， 但•••/ BAC=45°，若分别以AB 、AC 为对称轴作 Rt △ ADB的对称直角三角形和 Rt △ ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为 90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.【解析】 以AB 为轴作Rt △ ADB 的对称的Rt △ AEB ,再以AC 为轴作Rt △ ADC 的对称的Rt △ AFC .可知 BE=BD=3, FC=CD=2 ,延长 EB 、FC 交点 G , •••/ BAC=45° , 由对称性，可得 / EAF =90°，且AE=AD=AF , 易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于 AD , 设 AD=x ，贝U BG=x — 3, CG=x — 2, 在Rt △ BCG 中，由勾股定理，得 x 2 2 x 3 2 52 ,解得x=6，即AD=6.【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt △ ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC=4, M 为AC 的中点，P 为斜边 AB 上的动 点，求PM + PC 的最小值.【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 Rt △ ACB 关于AB 对称的Rt △ ADB ，可知四边形ACBD 为正方形，连接 CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD 交AB 于 点P ,连接CP ，贝U PM+PC 的值为最小，最小值为 ：PM+PC=DM= . 42 22 2. 5.A BAG题型二：三垂直模型例题精讲【引例】已知AB丄BD , ED丄BD, AB=CD , BC=DE，⑴求证：AC 一⑵若将△ CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，，③④【解析】⑴••• AB丄BD , ED丄BDB D 90 在厶ABC与厶CDE中AB CDB DBC DE••• △ ABC CDE ( SAS)••• 1 E2 E 90• ACE 90，即AC 丄CE⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明△ ABC C1DEACB C1EDC1ED DC1E 90 DC1E ACB 90••• AC 丄 C i E典题精练【例5】 正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为 0, 10 , 8, 4，点C 在第一象限.求正方 形边长及顶点C 的坐标.（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方.）【解析】 过点C 作CG 丄x 轴于G ,过B 作BE 丄y 轴于E ,并反向延长交 CG 于F点A 、B 的坐标分别为 0, 10 , 8 , 4• BE=8, AE=6, • AB=10•/四边形ABCD 是正方形，• AB=BC1 3 9023 90••• 1 2•/ AEB BFC 90• △ AEB ◎△ BFC • CF=BE=8, BF=AE=6 • CG=12 EF=14• C(14, 12)，正方形的边长为 10【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD 中， ABC 90 AD // BC , AB BC , E 是 AB 的中点，CE BD . ⑴求证：BE AD ;⑵ 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； ⑶ △ DBC 是等腰三角形吗？请说明理由.【解析】⑴••• ABC 90 , BD EC ,ECBDBC 90 , ABD DBC 90 , • ECB ABD ,••• ABC DAB 90 , AB BC , • △ BAD CBE , • AD BE .⑵T E 是AB 中点，• EB EA由⑴得：AD BE , • AE AD【点评】此题中三垂直模型:「……AEB C••• AD // BC , ••• CAD ACB 45 ,••• BAC 45 , • BAC DAC由等腰三角形的性质，得： EM MD , AM DE 即AC 是线段ED 的垂直平分线. ⑶厶DBC 是等腰三角形，CD BD由⑵得：CD CE ，由⑴得：CE BD • CD BD , • △ DBC 是等腰三角形.巅峰突破D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且 BD=CE ，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出/APD 的度数=;⑵如图 2, Rt A ABC 中，/ B=90° M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且 AM=BC 、BM=CN , 连接AN 、CM 相交于点P .请你猜想/ APM = _______________ °并写出你的推理过程.• △ EMC 是等腰直角三角形，MCE 又厶AEC CAN ( SAS )ECA NAC.EC // AN.APM ECM 45 .【例7】 ⑴如图1,A ABC 是等边三角形, 【解析】⑴图略，60°⑵45°证明：作AE 丄AB 且AE CN BM 可证△ EAM 也A MBC• ME MC , AME BCM. •/ CMB MCB 90 , • CMBEMC 90 .复习巩固题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图，△ ACB、△ ECD均为等腰直角三角形，则图中与△ BDC全等的三角形为 _________ .【解析】△ AEC【练习2】如图，已知Rt A ABC中ACB 90°AC BC，D是BC的中点，CE AD，垂足为E • BF II AC,交CE的延长线于点F •求证：AC 2BF .【解析】••• ACB 90°, BF II AC ,••• ACD CBF 90°, ADC CAD 90°•••• CE AD,B •FCB ADC 90°,•CAD FCB •又••• AC CB ,•△ADCCFB ••DC FB •••• D是BC的中点，•BC 2BF ,即AC 2BF •题型二三垂直模型巩固练习【练习3】已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD> AB）,点E在BC上，且AE =AD, DF丄AE,垂足为F •请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明.【解析】经探求，结论是：DF = AB • 证明如下：•••四边形ABCD是矩形，•/ B= 90o, AD II BC,•/ DAF = / AEB ••/ DF 丄AE, • / AFD = 90°,•/ AE = AD ,•△ABEDFA •• AB = DF•【练习4】如图，△ ABC中，AC BC , BCA 90°, D是AB上任意一点，AE CD交CD延长线于E , BF CD于F .求证：EF BF AE • 【解析】根据条件，ACE、CBF都与BCF互余，• ACE CBF •在△ACE和△CBF中，AC CB , AEC CFB 90° , ••• △ ACE ◎△ CBF •则 CE BF , AE CF ,• EF CE CF BF AE •【练习5】四边形ABCD 是正方形.⑴如图1点G 是BC 边上任意一点（不与B 、C 两点重合），连接AG ,作BF 丄AG 于点 F , DE 丄 AG 于点 E .求证：△ ABF DAE ;⑵在⑴中，线段 EF 与AF 、BF 的等量关系是 __________________ （直接写出结论即可，不 需要证明）；⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点（不与C 、D 两点重合），连接AG ,作BF 丄AG 于 点F , DE 丄AG 于点E .那么图中全等三角形是 _________________________ ，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 ________________________________ （直接写出结论即可，不需要证明 ）.BAF DAE 90°Q BAFABF 90 • ABF DAE在厶ABF 和厶DAE 中ABF DAE,AFB DEA,AB DA,•- △ ABF ◎△ DAE (AAS )⑵ EF AF BF⑶也 ABF ◎△ DAEEF BF AF【解析】 90° ⑴在正方形D C BAD DGC课后测测试1. 问题：已知 △ ABC 中， BAC 2 ACB ，点 D 是厶ABC 内的一点，且 AD CD ,BD BA .探究 DBC 与 ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.当BAC 90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB 与AC 的数量关系为 ___________ ;当推出 DAC 15时，可进一步推出 DBC 的度数为 _______________可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为 ______________ .ACB 90 , CD AB 于点 D ，点 E 在 AC 上，CE=BC ,过E 点作AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F.求证：AB=FC.【解析】••• FE AC 于点E , ACB 90°,FEC ACB 90° .F ECF 90° .又I CD AB 于点D ,A ECF 90 ° .••• A F .在△ ABC 和△ FCE 中，A F,ACB FEC,BC CE,• △ ABC ◎△ FCE .• AB FC .测试 3. 如图， Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC 10cm , BC 5cm ，一条线段PQ=AB , P , Q 两点分别在 AC 上和过A 点且垂直于 AC 的射线AM 上运动.当厶ABC 和厶APQ 全等时，点Q 到点A 的距离为 ___________ .【解析】5cm 或10cm.【解析】相等；15° ； 1:3测试2. 已知：如图，在△ ABC 中,。