D1
D2
性质４ 若 为D的面积 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上， f ( x, y) g( x, y)
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y) d .
D
D
★性质６设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : c y d , 1( y) x 2( y).
f ( x, y)d
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f ( ,) .
D
（二重积分中值定理）
例 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
第九章 重 积 分
主要内容
一、主要内容
二 重 积 分
定义 几何意义
性质 计算法
1.二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，
D
D
性质２ [ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
___________________________________.
3. 若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
0
0
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1
1 y
dy f ( x, y)dx.
0
0
练习题
1.当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
2. 二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
故 ln( x y) 1,
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
★４.二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a x b, 1( x) y 2( x).
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解 f (x, y)
1
,
( x y)2 16
区域面积 2,
在D上 f ( x, y)的最大值 M 1 ( x y 0) 4
f ( x, y)的最小值 m 1 1 ( x 1, y 2和 x y2所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
y x2
( x2 y)dxdy
1
dx
x ( x2 y)dy
0
x2
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
例 3 求 I e y2d ，其中 D 是由直
D
线 y x, y 1及 y轴所围成的闭区域.
解
e y2dy不能用初等函数计算
只能用 Y-型.
I
1
dy
y e y2 dx
0
0

1 ye y2dy
0

1 (1 e 1 ) 2
例 4
故2 I 2 0.4 I 0.5.
5
4
例 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i ,i ) i
★２. 二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
３. 二重积分的性质
性质１ 当 k 为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
例 1 求I xyd ,其中 D 是 x 1、
D
y x及 y 2所围成的闭区域.
解法一 [X-型]
2
I
2
dx
1
2
xydy
作乘积 并作和
f (i ,i ) i ，
n
f (i ,i ) i ，
i 1
(i 1,2,, n)，
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
x
2
[x
1
y2 2
]2x
dx
Y 1
2
x3
(2x )dx
1
解法二
[Y2-型]
[x2

x4 8
]12

9 8
I
2
y
dy xydx
1
1
2
[y
1
x2 2
]1y
dy
Y=2
X=1
X=Y
1X 2

2
(
1
y3 2

y )dy 2
[ y4 8

y2 4
]12

9 8
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物