1.2应用举例
【课题】:1.2.1 解三角形在测量宽度上的应用
【教学目标】
1、知识与技能目标：
初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．
2 、过程与方法目标：
（1）通过解决“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”和“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；
（2）进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3 、情感、态度与价值观目标：
（1）通过学生亲自实施对“测量”问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；
（2）发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展．
【教学重点】
重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．
【教学难点】
分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．
【课前准备】Powerpoint课件或投影片．
BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝1800－β＝1800－600＝1200
∠C 1BD 1＝1800－∠BD 1C 1－α＝600－450＝150
， 由正弦定理，得1111111
sin sin C D BC C BD BD C =∠∠
11110
sin 12sin120(18266)()sin sin15C D BD C m C BD ∠===+∠
中，∠ABC=30°，∠ACB =135CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)=180(135°+30°)=15°，BC=32,
由正弦定理
BC AC
=
，一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过
，并给出计算建筑物的高度AB及
的距离公式，希望你的方案中被测量的数据个数尽量少．
和例1会比较顺利，解决例
及其变式，则需要把实际问题转化为数学问题进行解决。

由于解三角形
1变式、例2巩固练习和
堂练习题即可，不必另加练习题。

1、在△ABC中，已知A=300, B=300, c =3
2，则a =_______，b =_______。

解：由已知可得，△ABC是等腰三角形，C＝1200，则
sin
2
sin
c A
a b
C
⋅
====.
2、在ABC
△中，角A B C
，，所对的边分别为a b c
，，，若1
a=，c=
π
3
C=，则A=．解：
sin1
sin
sin sin26
a c a C
A A
A C c
π
=⇒==⇒=。

3、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东200.灯塔B在观察站C的南偏东400，则灯塔A与灯塔B的距离为（）km.
A、a
B、a2
C、a2
D、a3
解：在△ABC中，∠ACB＝1200，AB2＝a
AB
a
a
a3
,
120
cos
20
2
2
2=
-
+选D
4、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）
A．0.5小时B．1小时
C．1.5小时D．2小时
解：设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中
PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，
即302＝x2＋402－2x·40cos450
化简得27000
x-+=
｜x1－x2｜2＝（x1＋x2）2-4x1x2=400,|x1－x2｜＝20，即CD＝20
故
20
1
20
CD
t
v
===，选B。

5、如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得
西
南
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=
∠∠． 所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=∠+·．
在ABC Rt △中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=+·
6、如图，
甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B
处，此时两船相距 解法一：如图，连结11A B
，由已知22A B =
1220
60
A A ==1221A A A
B ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，
1212A B A A ∴==1120A B =，1121056045B A B =-=∠，
在121A B B △中，由余弦定理，
22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+
-22202202
=+-⨯⨯200=．
12B B ∴=
因此，乙船的速度的大小为
6020
=（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =
，1220
60
A A ==，112105
B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=
-4=， sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=
+4
+=
． 在211A A B △中，由余弦定理，
1
A
2
A
120 105
1A
2
A
120 105
1
A
2
A
120 105
222
21221211122cos105
A B A B A A A B A A =+
-22202204
=+-⨯
⨯
100(4=+．
1110(1A B ∴=．
由正弦定理11121112222(13)2
sin sin 42
10(13)
A B A A B B A A A B +=
==
+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠
，2(1cos15sin105+==
．
在112B A B △中，由已知12A B =，由余弦定理，
2221211
2221
222cos15
B
B A B A B A
B A B =+
+22210
(1210(1=+-⨯
+⨯200=
．
12B B ∴=
乙船的速度的大小为
6020
⨯=/小时． 答：乙船每小时航行海里．。