当涂一中2018届高三第五次数学周考（理科）班级学号 姓名 得分一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实数满足，若恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2.已知，其中为常数． 的图象关于直线对称，则在以下区间上为单调递减的是（ ）A. B. C. D.3.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如104(mod 6)=．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．17B ．16 C.15 D ．13（第3题图） (第4题图） （第5题图）4. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）,x y 2t y x ≤+t 13t ≤5t ≤-13t ≤-5t ≤()3sin2cos2f x x a x =+a ()f x 6x π=()f x 31,56ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦71,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B.C. D. 5. 若函数 的图象如图所示，则的范围为（ ）)2,1.()2,0.()2,1.()1,.(D C B A ---∞6.已知双曲线C ： (0,0)a b >>的离心率为2，左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆的面积为（ ）A．2B2C.230a D ．215a7..设等差数列{}n a 的前项和为n S ，且满足0,020152014<>S S ，对任意正整数，都有||||k n a a ≥，则的值为（ ）A. 1006B. 1007C. 1008D. 10098. . 已知e 为自然对数的底数，若对任意的]1,0[∈x ，总存在唯一的]1,1[-∈y ，使得02=-+a e y x y 成立，则实数的取值范围是（ ）],11.[],1.(],11.(],1.[e eD e C e eB e A ++二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知向量()()2,3,1,3m n ==-，则2m n +在2m n -方向上的投影为 10.已知是定义在上周期为的奇函数，当时， ，则___________.11.. 已知 展开式的常数项为15， ．12. 22sin 2sin cos 3cos αααα-=，则cos2tan 2αα-=9π283π8π7π()f x R 4(]0,2x ∈()22log xf x x =+()2015f =m x x m x f +-=2)2()(2221x y a b 2-==-++⎰-dx x x x aa )4(226)(,0x xa a ->三、解答题 （本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.已知数列为等差数列，首项，公差.若成等比数列，且， ， .(1)求数列的通项公式； (2)设，求和14.设直线l 的方程为(2)5x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点. （1）若点(5,2)A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点(1,2)B{}n a 11a =0d ≠123,,,,,n b b b b a a a a 11b =22b =35b ={}n b n b ()321n n c log b =-12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+⋅⋅⋅+-15.已知()ln f x mx x =．（1）若关于x 的方程()1f x x ≥-在()0,+∞上恒成立，求m 的值；（2）证明：当*n N ∈时，2222111112344n n n n eeee+++<．当涂一中2018届高三第五次数学周考（理科）（答案）1. B 【解析】不等式组表示的平面区域是图中阴影部分（夹在两条平行线 和之间且在直线右侧的部分）， 作直线，平行直线，当它过点时，取得最小值－5，因此所求的范围是，故选B ．2.3.【答案】A4.B 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为 底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以为高的正三 棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为，可得底面外接圆的半径为，由棱柱高为，可得球心距为，故外，故选B. 5.【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，定义域为，∴，又∵时，，∴，又∵是奇函数，∴时，，∴在()()102260x y x y x y -+≥⎧⎪⎨--+≤⎪⎩20x y -=260x y -+=10x y -+=:l 20y x +=2y x t +=(2,1)A --2t y x =+t 5t ≤-222332122232113⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭22843S r ππ==上单调递增，上单调递减，∴，综上，实数的范围是，故选D. 6.【答案】B7.【答案】C 【解析】试题分析：,所以，,且数列为等差数列，所以且，所以是数列中的最小值，故选C ．8.【答案】B 【解析】由成立,计算得出,∴对任意的,总存在唯一的,使得成立,∴,且,计算得出,其中时,y 存在两个不同的实数,因此舍去,a 的取值范围是.故选B.9.275- 10.-2【解析】的周期为，又是定义在上的奇函数， ，故答案为. 11.【答案】【解析】试题分析：由的展开式的通项公式为，令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为12.120- 13. (1) ，……3分， ,……5分……7分()f x ()()4,201545041,20151f f =⨯-∴=-()f x R ()()12201512log 12f f ∴=-=--=-2-()()222151114a a a d d =⋅⇒+=⨯+212142=0d d d d d ++=+⇒=或（舍去）1211, 3.3b b a a a q ===∴=()11122113n n b n n a b b -=+-⨯=-=⨯1312n n b -+∴=(2) ，……8分……10分……13分14.解（1）联立方程组2(25)4x my m y x=++⎧⎨=⎩，消去x 得244(25)0y my m --+= ……3分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==--……4分 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-，……5分 所以直线l 的方程为30x y +-=.……6分（2）证明：因为21212()2(25)4410x x m y y m m m +=+++=++，2222121212()(25)4416y y y y x x m =⋅==+……8分所以1212(1)(1)(2)(2)BP BQ x x y y ⋅=--+--，……9分 即12121212[()1][2()4]BP BQ x x x x y y y y ⋅=-+++-++所以22[(25)(4410)1][8202(4)4]0BP BQ m m m m m ⋅=+-++++---+=，……11分因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点(1,2)B .……13分 15.【解析】令()()()1ln 1,0,F x f x x mx x x x =-+=-+∈+∞，……2分 若()0,22ln 210m f m <=-<，与已知矛盾，……3分若0m =，则()1f x x =-+，显然不满足在()0,+∞上()0F x ≥恒成立，……4分 若0m >，对()f x 求导可得()ln 1F x m x m '=+-， 由()0F x '>解得1m mx e->，由()0F x '<解得10m mx e-<<，∴()F x 在10,e m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,mme -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……6分∴()11min1m mm m F x F e me --⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴要使()1f x x ≥-恒成立，则须使110m m me --≥()321n n c log b =-1n =-()()()()21343565722121n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+-+⋅⋅⋅+-()2422n c c c =-++⋅⋅⋅+()22135212n n ⎡⎤=-+++⋅⋅⋅+-=-⎣⎦成立，……7分 即11m m me-≤恒成立，两边取对数得，11ln m m m -≤，整理得1ln 10m m+-≤，即须此式成立，令()1ln 1g m m m =+-，则()21m g m m-'=，显然当01m <<时，()0g m '<，当1m >时，()0g m '>，于是函数()g m 的()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()min 10g m g =，即当且仅当1m =时，()()()min 10,1F x F F x x ==≥-恒成立， ∴1m =满足条件，综上所述，1m =．……8分 （2）由（1）知1x >时，ln 1x x x >+，即1ln x x x->恒成立，……9分 令()2*21n x n N n +=∈，即2222211ln 111n n n n n +>-=++，……10分 即()2221ln 1ln 1n n n <+-+，同理，()()2221ln 2ln 12n n n <+-++， ()()()()22222211ln 3ln 2,ln 41ln 42341n n n n n n <+-+<---+-， ()()2221ln 4ln 414n n n<--，……12分 将上式左右相加得：()2222222211114ln 4ln ln ln 42ln 21234n n n n n n n n+++<-===+++……13分， 即2222111112344n n n ne ++++++<，即2222111112344nnnn e e e e +++<．……14分感谢您的阅读，祝您生活愉快。