2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文1.在△ABC中,若=,则B的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.(xx广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.3.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A. B. C. D.4.(xx天津六校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积为( )A.3B.C.D.35.已知△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.6.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.△AB C中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A= .8.(xx安徽,12,5分)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .9.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .10.(xx课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.B组提升题组12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cos A等于( )A. B.- C. D.-13.如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos∠A=()A. B. C. D.14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=,则b= .15.(xx吉林东北师大附中月考)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且2acos2+2ccos2=b.(1)求证:2(a+c)=3b;(2)若cos B=,S=,求b.16.(xx福建厦门南安一中、海沧实验中学联考)如图,△ABC中,已知点D在BC边上,且·=0,sin∠BAC=,AB=3,BD=.(1)求AD的长;(2)求cos C.17.(xx安徽师大附中模拟)已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足cos 2A-cos 2B=2cos·cos.(1)求角B的值;(2)若b=且b≤a,求2a-c的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B 由正弦定理知=,∴sin B=cos B,∴B=45°.2.C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2,∴b=2.选C.3.C 在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC=()2+32-2××3×=5,解得AC=.由正弦定理得sin∠BAC===.故选C.4.C ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2-2ab+b2+6,即a2+b2-c2=2ab-6,∵C=,∴cos===,得ab=6,则三角形ABC的面积S=absin C=×6×=.故选C.5.B 由b=2acos B及正弦定理得sin B=2sin Acos B,故tan B=2sin A=2sin=,又B∈(0,π),所以B=,因为A=B=,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=bcsi n A=×1×1×=.6.C 由已知及正弦定理得sin B=2sin Ccos A,sin C=2sin Bcos A,故sin(A+C)=2sin C·cos A=sin AcosC+cos A·sin C,即sin Acos C-cos Asin C=0,∴sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A=C.同理可得A=B,∴△ABC为等边三角形.7.答案解析在△ABC中,由b=c,得cos A==,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1,又知A∈(0,π),所以A=.8.答案 2解析由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由=知AC===2.9.答案 1解析由正弦定理得=,由余弦定理得cos A=,∵a=4,b=5,c=6,∴==2··cos A=2××=1.10.解析(1)由已知及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B==.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,所以a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=.所以△ABC的面积为1.(12分)11.解析(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因a=b>c,所以C为锐角.因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.B组提升题组12.D 由S=bcsin A及S+a2=(b+c)2,得a2=b2+c2-2bc,由余弦定理可得sin A-1=cos A,结合sin2A+cos2A=1,可得cos A=-或cos A=-1(舍去).13.C 因为DE⊥AB,DE=2,所以AD=,所以BD=AD=.因为AD=DB,所以∠A=∠ABD,所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.在△BCD中,由=,得=,整理得cos∠A=.14.答案解析因为cos A=,所以sin A===,所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=cos 45°+sin 45°=.由=,得b=×sin 45°=.15.解析(1)证明:由条件得a(1+cos C)+c(1+cos A)=b,由于sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即acos C+ccos A=b,所以a+c=b,即2(a+c)=3b.(2)在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=.由S=acsin B=ac=,得ac=8,又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),2(a+c)=3b,所以=16×,所以b=4.16.解析(1)因为·=0,所以AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin=cos∠BAD,所以cos∠BAD=.在△ABD中,由BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,得AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3,由于AB>AD,所以AD=3.(2)在△ABD中,由cos∠BAD=,可知sin∠BAD=,由正弦定理可知,=,所以sin∠ADB==,又因为sin∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=sin=cos C,所以cos C=.17.解析(1)∵2coscos=2=2=cos2A-sin2A=-2sin2A,cos 2A-cos 2B=1-2sin2A-(2cos2B-1)=2-2sin2A-2cos2B,∴2-2sin2A-2cos2B=-2sin2A,∴cos2B=,∴cos B=±,∴B=或.(2)∵b=≤a,∴B=,由====2,得a=2sin A,c=2sin C,故2a-c=4sin A-2sin C=4sin A-2sin=3sin A-cos A=2sin,因为b≤a,所以≤A<π,所以≤A-<,所以2a-c=2sin∈[,2).2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本理1.(xx兰州实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cos C=( )A. B.- C. D.-2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( )A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定3.(xx河北武邑中学期中)△ABC中,c=,b=1,∠B=,则△ABC的形状为( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形4.(xx课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )A. B. C.- D.-5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.在△ABC中,∠A=,a=c,则= .7.(xx天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为.8.(xx福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.9.(xx武汉高三测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为,求a,c.10.(xx浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.B组提升题组11.(xx山东菏泽期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若acos B+bcos A=csin C,S=×(b2+c2-a2),则B=( )A.90°B.60°C.45°D.30°12.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( )A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a13.(xx临沂模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为.14.(xx十堰模拟)给出下列命题:①若tan Atan B>1,则△ABC一定是钝角三角形;②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形.以上命题中正确命题的序号为.15.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=.(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2,求AB的长.16.(xx东北育才五模)已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csin A=acosC.(1)求角C;(2)若c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC的面积.答案全解全析A组基础题组1.B 由题意得,b2=ac=2a2,b=a,∴cos C===-,故选B.2.B ∵=,∴sin B=sin A=·sin 45°,∴sin B=.又∵a<b,B为三角形ABC的内角,∴45°<B<180°,∴B 有两个值,即此三角形有两解.3.D 根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.4.C 解法一:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC===-,故选C.解法二:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在Rt△ADC中,AC=BC,sin∠DAC=,cos∠DAC=,又因为∠B=,所以cos∠BAC=cos=cos∠DAC·cos-sin∠DAC·sin=×-×=-,故选C.5.A 由==及(b-c)·(sin B+sin C)=(a-c)sin A得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac,又因为cos B=,所以cos B=,所以B=30°.6.答案 1解析在△ABC中,∠A=,∴a2=b2+c2-2bccos ,即a2=b2+c2+bc.∵a=c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0,∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴=1.7.答案-解析由2sin B=3sin C得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cos A===-.8.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60°,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.9.解析(1)∵b=1,∴a+=4cos C=4×=,∴2c2=a2+1.又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1,∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,∴S△ABC=bcsin A=bc=×1×=.(2)∵S△ABC=absin C=asin C=,∴sin C=,∵a+=4cos C,sin C=,∴+=1,化简得(a2-7)2=0,∴a=,则cos C=,利用余弦定理可得c=2.10.解析(1)证明:由正弦定理及已知条件得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sinB+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin B·sin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B≠0,故sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.B组提升题组11.C 由acos B+bcos A=csin C及正弦定理得2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin2C(R为△ABC外接圆的半径),即sin(A+B)=sin2C,∴sin C=sin2C,又sin C≠0,∴sin C=1,又C∈(0,π),∴C=,∴c2=b2+a2,S=ab,又S=×(b2+c2-a2),∴a=b,∴B=45°,故选C.12.C ∵sin2A-cos2A=,∴cos 2A=-.∵0<A<,∴0<2A<π,∴2A=,∴A=,由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=,∴4a2≥(b+c)2,∴2a≥b+c(当且仅当b=c时取等).13.答案解析在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得=,所以AB=.14.答案②③解析①因为tan A·tan B>1,且A,B为三角形内角,所以tan A>0,tan B>0,所以A,B均为锐角,又因为tan(A+B)=-tan C=<0,所以tan C>0,所以C为锐角,所以△ABC不是钝角三角形,①错.②由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,所以△ABC一定为直角三角形,②对.③由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C为三角形内角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,③对.15.解析(1)因为∠D=2∠B,cos∠B=,所以cos∠D=cos 2∠B=2cos2∠B-1=-.因为∠D∈(0,π),所以sin∠D==.因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积S=AD·CD·sin∠D=×1×3×=.(2)在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,所以AC=2.因为BC=2=AC,=,所以====,所以AB=4.16.解析(1)根据=,可得csin A=asin C,又∵csin A=acos C,∴asin C=acos C,∴sin C=cos C,∴tan C==,∵C∈(0,π),∴C=.(2)∵sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B),∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A,∴2sin Bcos A=2×5sin Acos A.∵△ABC为斜三角形,∴cos A≠0,∴sin B=5sin A.由正弦定理可知b=5a,①∵c2=a2+b2-2abcos C,∴21=a2+b2-2ab×=a2+b2-ab,②由①②解得a=1,b=5,∴S△ABC=absin C=×1×5×=.。