专题2019高考压轴题讲解(下)课后练习
题一:如图甲所示，半径为R＝0.45m的光滑四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，B点为轨道最低点，在光滑水平面上紧挨B点有一静止的平板车，其质量M＝5kg，长度L＝0.5m，车的上表面与B点等高，可视为质点的物块从圆弧轨道最高点A由静止释放，其质量m＝1kg，g取10m/s2.
（1）求物块滑到B点时对轨道压力的大小；
（2）若平板车上表面粗糙，物块最终没有滑离平板车，求物块最终速度的大小；
（3）若将平板车固定且在上表面铺上一种动摩擦因数逐渐增大的特殊材料，物块在平板车上向右滑动时，所受摩擦力F f随它距B点位移L的变化关系如图乙所示，物块最终滑离了平板车，求物块滑离平板车时的速度大小。
题二:竖直平面内存在着如图甲所示管道，虚线左侧管道水平，虚线右侧管道是半径R=1m 的半圆形，管道截面是不闭合的圆，管道半圆形部分处在竖直向上的匀强电场中，电场强度E=4×103V/m。
小球a、b、c的半径略小于管道内径，b、c球用长L=2m的绝缘细轻杆连接，开始时c静止于管道水平部分右端P点处，在M点处的a球在水平推力F的作用下由静止向右运动，当F减到零时恰好与b发生了弹性碰撞，F-t的变化图像如图乙所示，且满足
224
F t+=
π。
已知三个小球均可看做质点且m a=0.25kg，m b=0.2kg，m c=0.05kg，小球c带q=5×10-4C的正电荷，其他小球不带电，不计一切摩擦，g=10m/s2，求
(1)小球a与b发生碰撞时的速度大小v0；
(2)小球c运动到Q点时的速度大小v；
(3)从小球c开始运动到速度减为零的过程中，小球c电势能的增加量。
题三:离子推进器是新一代航天动力装置，可用于卫星姿态控制和轨道修正。
推进剂从图中P 处注入，在A处电离出正离子，BC之间加有恒定电压，正离子进入B时的速度忽略不计，经加速后形成电流为I的离子束后喷出。
已知推进器获得的推力为F，单位时间内喷出的离子质量为J.为研究问题方便，假定离子推进器在太空中飞行时不受其他外力，忽略推进器运动速度。
（1）求加在BC间的电压U；
（2）为使离子推进器正常运行，必须在出口D处向正离子束注入电子，试解释其原因。
题四:静电火箭推力器是利用电能加速工作介质，形成高速射流，而产生推力的火箭发动机。
图1为其工作过程简化图：首先电子枪发射出的高速电子将电离区的中性推进剂离子化（即电离出正离子），正离子被聚焦加速区的电场加速后从喷口喷出，从而使飞船获得推进或姿态调整的反冲动力。
这种发动机寿命长，适用于航天器的姿态控制、位置保持和星际航行等。
设每个离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I。
忽略电离区形成离子的初速度及离子间的相互作用力。
求：
（1）离子经电场加速后，从喷射口喷出时的速度大小v0；
（2）该发动机产生的平均推力大小F；
（3）假设航天器的总质量为M，正在以速度V1沿MP方向运动，已知现在的运动方向与预定方向MN成θ角，如图2所示。
为了使飞船回到预定的飞行方向MN，飞船启用推进器进行调整。
如果沿垂直于飞船速度V1的方向进行推进，且推进器工作时间极短，忽略离子喷射对卫星质量的影响，离子推进器喷射出的粒子数N为多少？
专题 2019高考压轴题讲解下)
课后练习参考答案
题一:（1）30N ；（2）0.5m/s ；（3）5m/s
详解：（1）物块从圆弧轨道A 点滑到B 点的过程中机械能守恒：mgR ＝12
mv B 2 解得：v B ＝3m/s
在B 点由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v B 2
R
解得：F N ＝30N
由牛顿第三定律可得：物块滑到B 点时对轨道的压力F N ′＝F N ＝30N
（2）物块滑上平板车后，系统的动量守恒，
mv B ＝(m ＋M )v 共
解得：v 共＝0.5m/s
（3）物块在平板车上滑行时克服摩擦力做的功为F f －L 图线与横轴所围的面积，则克服摩擦力做功为：W f ＝(26)0.52+⨯J ＝2J ， 物块在平板车上滑动的过程中，由动能定理得：－W f ＝12mv 2－12
mv B 2 解得：v ＝5m/s.
题二:（1）v 0=4m/s ；（2）v =2m/s ；（3）p 3.2E ∆=J
详解：（1）对小球a ，由动量定理可得：I =m a v 0-0
由题意可知，F -t 图象所围的图形为四分之一圆弧，面积为拉力F 的冲量，
由圆方程可知：F -t 图象所围的面积为S =1m 2，即I =1N ·s
代入数据可得：v 0=4m/s.
（2）小球a 与小球b 、c 组成的系统发生弹性碰撞，
由动量守恒可得：012()a a b c m v m v m m v =++
由机械能守恒可得：222012111()222
a a
b
c m v m v m m v =++ 解得：v 1=0；v 2=4m/s.
小球c 运动到Q 点时，小球b 恰好运动到P 点，由动能定理：
22211()()22
c b c b c m gR qER m m v m m v -=+-+ 代入数据可得：v =2m/s
（3）由于b 、c 两球转动的角速度和半径都相同，故两球的线速度大小始终相等，假设当两球速度减到零时，设b 球与O 点连线与竖直方向的夹角为θ，
从c 球运动到Q 点到减速到零的过程列能量守恒可得：
21(1cos )sin ()sin 2
b c b c m gR m gR m m v qER θθθ-+++= 解得：sin θ=0.6，θ=37°
因此小球c 电势能的增加量：p (1sin ) 3.2E qER θ∆=+=J
题三:（1）2
2F U JI
=；（2）推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作用将严重阻碍正离子的继续喷出。
电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。
因此，必须在出口D 处发射电子注入到正离子束，以中和正离子，使推进器获得持续推力。
详解：（1）设一个正离子的质量为m ，电荷量为q ，加速后的速度为v ，根据动能定理，有qU =12
mv 2① 设离子推进器在Δt 时间内喷出质量为ΔM 的正离子，并以其为研究对象，推进器对ΔM 的作用力为F ′，由动量定理，有F ′Δt = ΔMv ②
由牛顿第三定律知F ′ =F ③ 设加速后离子束的横截面积为S ，单位体积内的离子数为n ，则有
I =nqvS ④
J =nmv S ⑤ 由④、⑤可得
I q J m = 又M J t
∆=∆ 解得2
2F U JI
= （2）推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作用将严重阻碍正离子的继续喷出。
电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。
因此，必须在出口D 处发射电子注入到正离子束，以中和正离子，使推进器获得持续推力。
题四:（1）
；（2）（3） . 详解：（1）由动能定理得：2012
qU mv =
所以v 0 （2）对于单个离子，由动量定理得F 0Δt =mv 0
设在Δt 时间内，有n 个粒子被喷出，则有F ＝nF 0
nq I t
=∆
所以F = （3）飞船方向调整前后，其速度合成矢量如图所示；
1tan
v v θ
∆
=
离子喷出过程中，系统的动量守恒：M∆v=Nmv0（M>>Nm）所以N。