2.2.3 待定系数法
课时跟踪检测 [A 组 基础过关]
1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2)
D ．(－3，－2)
解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6
x
，过(3，
－2)点．故选C ．
答案：C
2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( )
A ．y ＝－x 2
＋1 B ．y ＝x 2
＋1 C ．y ＝－x 2－1
D ．y ＝x 2
－1
解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1，
∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2
＋1，故选A ． 答案：A
3．函数y ＝ax 2
＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( )
解析：y ＝ax 2
＋bx 的图象过原点，故A 错； 由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b
2a >0，
∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错；
两图象的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a
，0，故选D ．
答案：D
4.如图，抛物线y ＝－x 2
＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( )
A ．－53
B ．0
C ．－5
3
或0
D ．1
解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)， 则x 1，x 2是方程－x 2
＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根， 即x 2
－2(m ＋1)x －m －3＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2
2＝－m －3，
∴m ＝0，m ＝－5
3(舍)，故选B ．
答案：B
5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4
D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝9，ab ＋b ＝8，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝－4，故选D ．
答案：D
6．已知抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，14
7．反比例函数y ＝12
x
的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数
的解析式为________．
解析：由P (m,2)在y ＝12x 上，2＝12
m
，∴m ＝6.
将(6,2)代入y ＝kx －7，得6k －7＝2， ∴k ＝32，∴y ＝3
2x －7.
答案：y ＝3
2
x －7
8．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解：∵f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． 又∵f (0)＝0， ∴c ＝0.
从而f (x )＝ax 2
＋bx (a ≠0)． 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得
a (x ＋1)2＋
b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，
整理得ax 2
＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2
＋(b ＋1)x ＋1，
比较系数得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，
a ＋
b ＝1，
解得a ＝12，b ＝1
2
.
∴f (x )＝12x 2＋1
2
x 即为所求．
[B 组 技能提升]
1．函数y ＝ax 2
＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞) 上是减函数，则( ) A ．b ＞0，且a ＜0 B ．b ＝2a ，且a ＜0 C ．b ＝2a ，且a ＞0 D ．a ，b 的符号不定
解析：由题意知a ＜0，且－b
2a
＝－1，故选B ． 答案：B
2．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象过(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A ．过点(3,0)
B ．顶点(2,2)
C ．在x 轴上截得的线段长为2
D ．与y 轴交点为(0,3)
解析：由题可设y ＝(x －2)2＋k ，将点(1,0)代入得k ＝－1，∴y ＝x 2
－4x ＋3.∴顶点为(2，－1)，故选B ．
答案：B
3．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2
＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2
＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 解析：∵f (x )＝x 2
＋4x ＋3，
∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2
＋4(ax ＋b )＋3＝
a 2x 2＋(4a ＋2a
b )x ＋(b 2＋4b ＋3)＝x 2＋10x ＋24. ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝1，4a ＋2ab ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，
∴a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，∴5a －b ＝2. 答案：2
4．若直线y ＝1
2x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则m ＋n ＝________.
解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧
2＝12
＋n ，
2＝m －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝3
2
，∴m ＋n ＝9
2
.
答案：9
2
5．设f (x )为定义在R 上的奇函数，如图是函数图象的一部分，当0≤x ≤2时，是线段
OA ；当x ＞2时，图象是顶点为P (3,4)的抛物线的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (2)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (3)写出函数f (x )的单调区间． 解：(1)图象如图所示．
(2)当x ≥2时，设f (x )＝a (x －3)2
＋4， ∵f (x )的图象过点A (2,2)，
∴f (2)＝a (2－3)2
＋4＝2，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x ＞2， ∴f (－x )＝－2(－x －3)2
＋4. 又因为f (x )在R 上为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(－x －3)2
－4， 即f (x )＝2(x ＋3)2
－4，x ∈(－∞，－2)．
(3)单调减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调增区间为[－3,3]．
6．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，且f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＞0的解集为(－2，
c )．
(1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )在区间[m ，m ＋1]的最大值记为h (m )，求h (m )的最大值． 解：(1)由f (2＋x )＝f (2－x )， 知f (x )关于x ＝2对称， ∴－b
2a
＝2.①
由f (x )＞0的解集为(－2，c )． ∴ax 2
＋bx ＋c ＝0的两根为－2，c ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2c ＝c
a ， ②－2＋c ＝－b
a
， ③
由①②③解得a ＝－1
2，b ＝2，c ＝6.
∴f (x )＝－12
x 2
＋2x ＋6.
(2)由(1)可知f (x )＝－12x 2＋2x ＋6＝－12
(x －2)2
＋8.
当m ＋1<2，即m <1时，
f (x )max ＝f (m ＋1)＝－12m 2＋m ＋152
.
当m ≤2≤m ＋1，即1≤m ≤2时，
f (x )max ＝f (2)＝8.
当m >2时，
f (x )max ＝f (m )＝－12
m 2＋2m ＋6.
∴h (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧
8，1≤m ≤2，
－12
m 2＋m ＋152，m <1，
－12m 2
＋2m ＋6，m >2.
当m ＜1时，h (m )＝－12m 2＋m ＋152＝－12(m －1)2
＋
8＜8；
当m ＞2时，h (m )＝－12(m －2)2
＋8＜8，且当1≤m ≤2时h (m )＝8，∴h (m )的最大值为
8.。