二重积分习题答案
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第八章二重积分习题答
案
练习题
1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义
计算d D
x y
解：d D
x y =200
d π
θ⎰⎰
=222
01()2r d a r π
θ=--⎰⎰
2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
练习题
1.2d D
x σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.
解：2d D
x σ⎰⎰=22
222301
001515
cos [cos2]84
d r dr d d πππθθθθθπ=
+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd y
x D
)3
41(--
⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y
x D
)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰
=222(1)84
x
dx --=⎰
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解：
2
2
2
42
20
2320(42)
28(2)|33
x x x
D
A dxdy dx dy x x x x -===-=-
=⎰⎰⎰⎰⎰
4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积
解： 22
222
2
(4)(4)48D
V x y d d r rdr d ππ
σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰
习 题 八
一．判断题
1.d D
σ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）
2.二重积分 100f(x,y)d y
dy x ⎰⎰交换积分次序后为1
1
f(x,y)d x
dx x ⎰
⎰ （×）
二．填空题
1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =
⎰⎰
12π12π.
2.二重积分d d D
xy x y ⎰⎰的值为
1
12
，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.
112
3.二重积分10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为
11
(,)x
dx f x y dy
⎰⎰
. 11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =
0.0
5.交换积分次序
1
d (,)y f x y dx ⎰
=
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy
+⎰⎰
⎰⎰
.
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰
6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

则22
1D
dxdy
x y ++⎰⎰
=_ln 2πln2π
三. 选择题
1.设1ln D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，2D
I =⎰⎰（x y +）2d d x y ，3D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，其中D 是由直
线0x =，0y =，1
2
x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）.
2.设 1 1
2 0 d sin d y I y x x =⎰⎰，则I 等于（ A ）.
A )1cos 1(2
1
- B 1cos 1- C 1sin 1+ D 积不出来
3.设D
f ⎰⎰（x ，y ） 1 1 0 0d d d x
x y x f -=⎰⎰（x ，y ）d y ，则改变其积分次序后应为（ D ）.
A 1 1
0 0d x y f -⎰⎰（x ，y ）d x
B 1 1 0 0
d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
C 1 1
d y f ⎰⎰（x ，y ）d x
D . 1 1 0 0
d y
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B
）时D
π=
A 1
B
C
D 四 计算二重积分
1.计算二重积分2D dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.
解：2dxdy =⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
2.计算二重积分(6)D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。

解：150
(6)(6)x
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰
1
23100
76767633
x dx x ==
=⎰
解： 120
3dy xy dx ⎰123033()22y y dy =-⎰3410
3111
()2348
y y =-= 4.()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成. 解：2
1
()()x o
D
x y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰
1
3445100
1117
()()241020
x x dx x x =+
=+=
⎰ 解： 110
xy
xy
o
D
xe d dx xe dy σ=⎰⎰⎰⎰1
100
(1)()2x x e dx e x e =-=-=-⎰
6.
x y
D
e dxdy +⎰⎰其中区域 D 是由 0,1,0,1x x y y ==== 围成的矩形； 解：210
1
)1(-==⎰⎰⎰⎰+e dy e dx e dxdy e o
y x D
y x
解： 2
2
2
40
x x x
D
xdxdy dx xdy -=⎰⎰⎰
⎰2
23342
041
8(43)()
32
3
x x dx x x =-=-=
⎰
8. ()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，1,1D y x ≤≤其中由曲线围成.
解：1
1
1
1
()()D
x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰
⎰
1
2
1
1
1
20xdx x --===⎰
解：12220
x
D
x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰
1
4510
2225
5
x dx x ==
=
⎰ 10.2,D
xy dxdy ⎰⎰计算二重积分
()2
02
p
y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。

解：2
2
2
2p
D
xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰
35372
22
2
2
5
20
0243721
p
p
p p x dx p x ===⎰。