S Sy、Sz,根据静力平衡条件，
Sx
Px 0
y
推导：
A
x
z
SxdA xdAx yxdAy zxdAz
xldA yxmdA zxndA
Sx xl yxm zxn
Sy xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
力分量。
yτyxτyz 分量中用2个角标表示，第一个表示分量所
在的微分面，第二个表示其作用方向。
单向拉伸的应力
设一圆柱体内一质点Q，受两向拉伸力P，过Q点作任一切 面C1-C1，其法线N与拉伸方向成θ角，面积为A。由于均匀拉 伸，则过C1-C1截面的应力为c均1 布应力
P
P
c1
c1 c
P
cθ c1
当在物体边界上，表面力的分量为Fx、Fy、Fz，法线方 向余弦为l、 m、 n，则应力边界条件为
Fx xl yxm zxn Fy xyl ym zyn Fz xzl yzm zn
Fj ijli
F 2 Fx2 Fy2 Fz2
P
0

P A
P
c Q
0
S

P A

P
A / cos
0 cos
c
S cos 0 cos2
c1

P
Qθ
θ
S
S sin 0 sin cos
c1
0 sin 2
2
结论：根据式子可知，在单向均匀受力条件下，可用
σ0来表示点的应力状态
2.多向受力下的应力分量
z
z
zy
zx
yz
xz xy
yx
以某质点Q为中心，做三向
y
互相正交的微分面，组成单 元体，棱边分别平行与三根
y 坐标轴。
x x
根据应力分析，可知3个微分面上共有9个应力分
量，其中正应力3个，切应力6个，如图
应力（stress） 应力S 是内力的集度 内力为矢量，应力为张量，都有方向和分量 应力的单位：1Pa=1N/m2 = 0.10197kgf/mm2
与加载路径的关系：弹性—无关；塑性—有关 对组织和性能的影响：弹性变形—无影响；塑性变
形—影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、 形成织构等） 变形机理：弹性变形—原子间距的变化；
塑性变形—位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；
塑性变形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程 中，工件的塑性变形与工模具的弹性变形共存。
练习：受力物体内一点的应力张量σij ，试求法线方 向余弦未l＝m＝1/2，n=1/√2的斜切平面上的全应力、
S2 Sx2 Sy2 Sz2
因此可求得全应力S的正应力σ和斜微分平面的 切应力τ
Sxl Sym Szn
... xl2 ym2 zn2 2 xylm yzmn zxnl
2 S2 2
点应力状态表达式
应力边界条件
物体受力变形的力学分析
已知：外力、位移边界条件 求解：应力 、位移、应变
外部载荷
应力
应力平衡微分方 程
屈服准则
应力应变曲线
弹性应力应变关系
塑性应力应变关系
应变
位移
协调方程
几何方程
位移约束
弹性、塑性变形的力学特征
可逆性：弹性变形—可逆；塑性变形—不可逆
-关系：弹性变形—线性；塑性变形—非线性
第三章 金属塑性变形的力学基础
3.1 应力分析 3.2 应变分析 3.3 平面问题和轴对称问题 3.4 屈服准则 3.5 塑性变形时应力应变关系 3.6 真实应力-应变曲线
塑性理论的研究内容
塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是固体力 学的一个分支。它研究变形体受外界作用（外载荷、边 界强制位移、温度场等）时，物体形状及相关物理量在 变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度 场等）。
dP dA
CA
设C-C截面上某一质点， 周围切取一小面积dA， 则在该面积上内力的合 力为dP
全应力S
P5 P4
P3
S＝dP/dA
全应力S分解，法向上
的正应力σ和垂直法向 的切向量τ
z
τ τyz
S
τyx
yN
y
令C-C截面平行于xz平面，N法向与y轴平行，则该
x 质点的微分面称为y面，σyτyxτyz 是全应力S的应
z
应力作 用方向 x y z
提示：
正应力是以拉为正，压为负； 切应力在单元体是均是正
二、点的应力状态
点的应力状态指：受力物体内一点任意方位微分面上 所受的内力情况。
z
设斜微分面ABC的外法线方向
N 为N，其方向余弦分别为l、m、
C
x
n，即 l cos(N, x)
yx
y
xy yz
xz
§3.1应力分析
一Байду номын сангаас应力和外力
a.外力
面力（作用于表面）。可以是集 中力，通常 是分布力；
体积力（作用于质点）
b.内力——在外力作用下，物理内各质点之间产生的相互作 用的力(N) 。方向、大小。
应力——单位面积上的内力(N/mm2)。方向、大小 1.单向受力的应力及其分量（截面法）
N
S
σ
τ C P1 P2
zy Q zx
B
A
x
z
m cos(N, y) n cos(N, z)
y 设ABC面积为dA，则
QAB＝dAz=ldA
QAC=dAy=mdA
QBC=dAx=ndA
z
N 现设斜微分面ABC上的全应力S，
C
yx
Sy
x

y
yz
xy
Sz
xz
zy
zx
B
在三个坐标轴上的分量：Sx、
塑性力学的基本假设
变形体连续 变形体静力平衡
变形体均质和各向同性 体积力和体积变形不计
塑性理论涉及到的理论知识
静力学 — 变形体静力平衡，平衡方程 几何学 — 变形体连续，几何方程、连续方程 物理学 — 应力应变关系，本构方程、屈服准则
与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的 区别：研究方法、对象、结果的差异。弹塑性力学的研 究对象是整个（而不是分离体）变形体内部的应力、应 变分布规律（而不是危险端面）。
1MPa=106 N/m2 应力是质点坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。 应力是质点在坐标系中方向余弦的函数，即同一点不同
方位截面上的应力是不同的。
这9个应力分量可用矩阵表示如下： 应力作用面


xx
xy
xz

x
yx yy yz
y
zx zy zz