x0+Δx X
（图3.2）
10
3. 回答两个思考题
⑴步骤
①求增量
给
x
一个增量
0
x，自变量由x
0
变
到 x0 x，则 yf(x0 x)f(x0) Y
y f(x) M
②求增量比
T Δy
③ 取极限
yf(x0x)f(x0)
x
x
M0 α β y0 O x0 Δx x0+Δx X
（图3.2）
ta n li m y lim f(x 0 x ) f(x 0 )
其它形式
f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
注意：如果上述极限不存在，则称在x0处不可导
13
由此可知： 导数是平均变化率的极限！ v lims t t0 t0
导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；
6
1.1 抽象导数概念的两个现实原型
原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度.
设 s f (t)在[0，T]上连续，求v v(t0) .
M M0
M1 P
O
△s
s
1. 提出问题
匀速运动：瞬时速度v0
v
s
；
t
变速运动：瞬时速度v 0
0 0
.
想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？ 7
3. 回答两个思考题 M M0
第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分
学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. ——朱熹：《朱子语类辑略》
在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微 积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.
——恩格斯
1
❖ 教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数 的方法、微分及其运算。
（图3.2）
14
定义2 如果函数y f(x) 在区间 (a, b) 内的每一点都可
导，则称函数在区间(a, b)内可导.这时，函数 y f(x)
对于区间 (a,b) 内每一 x值都对应着一个确定的导数，
称为函数 f ( x) 的导函数，记作 y, f (x), dy 或 d f ( x).
dx dx
❖ 要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握 导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹 和微积分发生与发展简史. 教学重点：导数概念、求导方法、微分概念； 教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的 概念；
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
αβ Δx
O x0
x0+Δx X
（图3.2）
9
1. 提出问题 若y f(x)的图象是直线，则 k y
x
若y f(x)的图象是曲线，则 k ? .
Y
2. 思考
Y
M
y f(x)
Δy
；M0
y0 O x0
β
Δx x0+Δx X
M y f(x)
⑴步骤？ ⑵数学思想方法？
T Δy
y0 M0
αβ Δx
O x0
x x 0 x 0
x
其中 ( )是切线
2
M 0与T 轴
x的夹角
11
1：化 为
瞬时速度
平均速度
2：取极限
1：化 为
切线
割线
2：取极限
（第一步为第二步做准备）
总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的 角度来考察，
所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相 关变量的变化快慢程度，即变化率问题；
如果 y 与 x之比 y ，当x0时的极限存在，则
称这个极限值为
x
y
f
(x)在点
x0
处的导数，记
作
， y x x0
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
X0为固 定的点
一个整 体符号
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法； 数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当 自变量改变量趋于零时的极限. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。
12
1.2 导数概念
定义1 设函数y f(x)在点 x 0的某一邻域内有定义，
当自变量x在x 0 处有增量（x 点 x0 x 仍在该邻域
内）时，相应地函数有增量 yf(x0 x)f(x0)，
导数的几何意义是曲线切线的斜率. k tanlimy
由上知求导数步骤如下：
x0
x0x
⑴给 x 0一个增量 x，求相应的函数增量
yf(x 0 x )f(x 0 ) Y ⑵求平均变化率
y f(x) M
yf(x0x)f(x0)
x
x
⑶求平均变化率的极限，即
y limy x xx0 x0
T Δy M0 α β y0 O x0 Δx x0+Δx X
其计算公式为 y f(x ) li m y lifm (x x ) f(x ) x x 0 x 0 x
显然函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数 f (x0)就是导数 f '(x)
M1 P
⑴步骤
O
△s
s
①求增量 给 t 0 一个增量t,时间从t 0 变到了t1 t0t，
则 s f( t1 ) f( t0 ) f( t0 t) f( t0 )
②求增量比（局部以匀速代变速）
vsf(t0t)f(t0)
t
t
③ 取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）
v 0 lt i0 vm lt i0 m s t lt i0fm (t0 tt) f(t0 )
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原型Ⅱ 求曲线切y)是曲线 y f(x) 上两点它们的连线是 Y 该曲线的一条割线，当点M沿
M y f(x)
曲线无限接近于点M0时，割线
绕点 M0转动，其极限位置M0 T 就是曲线在点M0处的切线（图 3.2），求曲线在点M0处切线的 斜率.
T Δy
y0 M0
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
❖ 教学内容
§1 函数的局部变化率——导数 §2 求导数的方法——法则与公式 §3 局部改变量的估值问题——微分及其运算
数学家启示录
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第一节 函数的局部变化率－导数
❖ 问题提出 ❖ 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的
函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程 度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国 民经济发展的速度等。 ❖ 三类问题： ❖ 1：求变速运动的瞬时速度 ❖ 2：求曲线上一点处的切线 ❖ 3：求极大值和极小值