X’坐标 Y’坐标
A ‐188.75 ‐193.88
B ‐88.85 ‐186.34
C 128.05 ‐170.31
D 70.9 119.29
E ‐226.79 118.47
4.1.2 改进的外公切线定心法
由于受到图像质量的影响，上述基于外公切线的定心法在所给图像较为粗糙 时无法准确在凸图形的边缘上做出切线。考虑到提高模型与算法的普遍适用性， 我们进一步提出改进的外公切线定心法。
2
图 1 坐标系转换示意图
由透视投影坐标变换公式：
1
1
–
–
0
0
0
因此展开成为标量形式，有:
·
·
··
··
··
··
0 0 0 1
·
1
·
· 2
· 3
其中
我们令原平面保持在 XOY 平面，因此有 z=0
·
·
4
··
··
3
··
··
··
··
5
在已知x , y 情况下反解x, y如下
’
‘
6
’
‘
’
7
‘
至此，我们建立起透视投影坐标，完成了自然坐标系向透视投影坐标系的转换。
心 1.1.4 使用坐标反变换公式求出所求靶心的原像 1.1.5 对靶心的原像和原靶心进行比对，求出误差 e
1.2 对 1.1.1‐1.1.5 重复多次（设定为 100 次） 2.1 对 1.1‐1.2 重复多次（设定为 100 次）
其中，(x , y )为第 i 次实验的第 j 个靶心的的算法求解值，(X , Y ) 为第 i 次实验
对于重心法，我们仅使用其对靶心进行估算，因此其必然存在一些误差。此 外，由于图像具有分辨率有限，因此重心的计算的误差则相对较大。在不利情况 下，例如φ接近 时，圆的投影拉伸为一个“长条形”形状（见下图）
图 9 重心法中“长条形”的出现
此时，图像投影实际值与数字化之后的值误差较大，因此，在这种情况下重心法 求解比在一般情况下用重心法求假效果差得多，因此 D 较大，即重心法的稳
E
(‐226.79,118.47)
(‐227.33,117.77)
4.2 问题三的分析（模型精确度与稳定性的分析）
4.2.1 蒙特卡洛模拟法
为了对建立的模型进行进一步有意义的分析，我们采取蒙特卡洛模拟法对模 型的精确度和稳定性进行估测。下面首先给出模拟步骤：
1.1. 在平面上随机产生若干个半径相同的圆，参数如下: 圆心x~N 0, 500 , y~N 0, 500 半径r~U 20,60 ，圆的个数为 3,4,5,6,7,8
x , y x’ , y‘
x’ , y‘ ,则多提供 4 组方程，但同时增加了 2 个未知数 x , y 。 x’ , y‘ 仅能提供 2 组方程(8)(9)，不能给出(10)(11)，且θ,φ, D未
方程个数：4n 2
未知数个数：2n＋3
因此n 3时，可以对其求解。 这个结论也可以用如下方法解释：
3.3 外公切线定心法基础
由式(6),(7)，在φ 时， x, y 与 x , y 存在一一对应关系。
因此我们可以得出以下结论：原图像为一个圆和一条直线且他们的位置关系 为相切，则圆的透视投影和直线的透视投影有且仅有一个公共点，且该公共点为 原图像切点的投影。
由此我们可以推论：在投影平面上，有直线 L’,图形区域 M’,N， 若
5
图 3 待求二值图像
其中包含两个凸形连通域 , ，设 , 、
, 为相应连通域的边界
坐标集合。目的是求解两个凸图形的一条外公切线
。模型可描述如下：
对于二值图像
, , 0,1
有目标函数
满足
,
,
总有
0或
0
4.1.1.2 求解外公切线模型
模型求解的算法可作以下描述：
Step1. 令A
, ,B
,
，作直线 AB 将图像
4 模型求解
4.1 问题一、二的求解
4.1.1 外公切线定心法 在外公切线定心法基础中，已经阐明了其基本原理，但在实际求解过程中，
由于图像被数字化(离散化)。因此在使用外公切线定心法时，还需要考虑到这个 因素。 4.1.1.1 求外公切线模型的建立
在一张二值图像上求解两凸图形切线的数学模型可以建立如下： 待求二值图像 , （如下图）
4.3.1 求解模型的建立
由式（1）~式（3）以及自然坐标系中靶心间的相对位置关系，可以给出下
列一组方程(8)~(11),
d x · sinθ y · cosθ
x
8
x · cosθ · sinφ y · sinθ · sinφ D
d x · cosθ · cosφ y · sinθ · cosφ
y
9
2 模型假设
相机的主光轴只有一条，其通过光学中心并且对准图像中的某一点 两台相机拍摄同一画面时的主光轴都只对准画面的同一点 相机拍摄符合透视投影原理
3 模型建立
3.1 模型预备
P F P, θ, φ, D 则P 为P在参数θ, φ, D下的透视投影图像，由于F为可逆的，因此记
P F P , θ, φ, D Q＝Q P 对P提取靶心后的图像
图 8 重心法确定通域)中的所有点的横纵坐标分别取平均 来估算靶心的位置：
x E x 为x 的平均值(对所有连通域中的点) y E x 为y 的平均值(对所有连通域中的点) 最后， x, y 为所求靶心的横纵坐标值。
4.1.4 求解结果
处理时坐标原点选在光心处，利用不同方法解得的各个圆心在像平面 X’O’Y’ 的坐标归纳如下:（单位 像素单位）
关键字：空间定位 成像原理 透视投影 坐标变换
1
1 问题重述
系统标定在实际的生产生活中有着极为广泛的应用，其基本概念是利用两部 相机在固定位置记录的影像确定这两部相机在空间中的相对位置。系统标定的方 法多种多样，其中一种是利用多圆形组合的标靶进行拍照，确定标靶上圆的圆心 在像平面上的位置，从而通过两台相机记录像平面上圆心的位置完成系统标定过 程。本文所要研究的问题就是如何在像平面上精确的定位圆心，并利用相关信息 确定相机的拍摄参数以及两台相机间相对位置的方法。
x · cosθ · sinφ y · sinθ · sinφ D
x x d 10
y y d 11
其中d已知， d , d 为在原图像上靶心 i 相对于靶心 j 的相对坐标，因此在原图
像已知的情况下任意d , d 都是已知量。
设给出映射
的组数为 n 每给出一组 x , y 但第一组 x , y 知。 因此：
的第 j 个靶心的实际值，n 为第 i 次实验的靶心个数，第 i 次实验的误差为，N 为 总实验次数(100 100=10000)：
∑ xX
xY
e
n
∑e
Ee
N
E e 为衡量精准度的标准 De
∑ e Ee N1
10
D 为衡量稳定性的标准
E
表 3 两种圆心确定方法精确度与稳定性的判定
Ee De
外公切线定心法 重心法
0.491 0.747
0.259 0.598
De Ee
0.528 0.800
4.2.2 两种圆心确定方法的比较
由此可见：使用外公切线定心法时，其精准度和稳定性都比较好，这是因为 外公切线定心法可以利用几何特点，更好地锁定靶心的位置。在不利情况下，例 如φ接近 时，或者 D 教大时，也能较好地算出靶心，因此其稳定性较高。但这 种算法需要在数字化图像上计算公切线，计算的时间复杂度较大。
3.2 透视投影原理及坐标变换 由于问题涉及到自然坐标系向投影平面的转换，首先我们说明坐标变换的原
理，图 1 为坐标系变换示意图。X Y Z 为观察坐标系，定义为左手坐标系。X’O’Y’ 为投影平面。XYZ 为自然坐标系，定义为右手坐标系。XOY 为原图像所在平面。 根据中心透视投影的性质，可以说明物的位置 P、P 的像 P’和O 在一条直线上。
照相设备与原始图像之间不确定度为 5，即 x,y,z 方向上的平移，以及在两个 方向之间的转动。而投影平面和照相设备之间不确定都为 2，因为投影设备垂直 与照相设备的光轴，消除了 2 个不确定度，且焦距确定，又消除了 1 个不确定度。 因此，而每个点以及其投影的之间的对应可以消除 2 个不确定度，因此我们可以 根据此方法来求出照相设备的参数。
的概率均为 ，并且要求所有圆必须两两相离(不满足时重新产生随机数)。作出原 图像P
1.1.1 随机产生参数L~U 500,2000 , θ~U , , φ~U 0, , d~U 300,700
且要求L (不满足时重新产生随机数)。 1.1.2 使用坐标变换公式作出投影图P F P 1.1.3 使用算法（外公切线定心法，重心法），根据投影图求出投影图中的靶
则
若 M,N 为圆形区域时，L 为 M,N 的公切线。因此 L’为公切线的投影。其中， L’,M’,N’,A’,B’为 L,M,N,A,B 的投影,A,B,A’,B’均为单点。因此我们可以通过“外公切线 法定心法”求出靶心在投影平面的投影，方法如图 2 ：
4
图 2 外公切线定心法原理
右图中作出一些直线，这些直线与各个图形仅有 1 个公共点，l , l , l , l ，四条切 线交于 A’,B’,C’,D’,如右图，连接 A’C’和 B’D’交与 O’，O’即为靶心所在位置的投影。 其对应原图像如左图。
表 2 两种圆心确定方法结果的比较
外公切线定心法
重心法
A
(‐188.75，‐193.88)
(‐189.11,‐194.51)
9
B
(‐88.85,‐186.34)
(‐89.00,‐187.058)