二次函数✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数2ax y =的性质y ax c =+y a x h =-的性质：y a x h k =-+的性质a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 越大开口反而越小。

➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．．总结起来 ➢ 常数项c总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ✧ 直线与抛物线的交点➢ y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：(同上)✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； ➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； ➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．二次函数专项训练一、与二次函数有关的填空题21．如图7是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围______________。

2．如图7是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围______________。

二、与二次函数有关的选择题型1、对于一元二次方程a c bx ax (02=++≠0），下列说法： ①若1-=+cbc a ，则方程02=++c bx ax 一定有一根是1=x ②若232,a b a c ==，则方程02=++c bx ax 有两个相等的实际上数根③若0,0,0><<c b a ，则方程c bx cx ++2与x 轴必有交点 ④若,0=-bc ab 且1-<ca，则方程02=++a bx cx 的两实数根一定互为相反数其中正确的是（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、①③D 、②④2、一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根为21,x x ，下列说法： ①若原方程有一根为abx 21=，则原方程两根必相等 ②若原方程两根为21,x x ，且21x x <，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集为1x x <或2x x >③若原方程有一根为ac-，则另一根为-1 ④若042=-ac b ，原方程两根为21、x x ，则abx x =+21其中正确的是（ ） A 、①③④ B 、只有② C 、①②③ D 、②④3、对于抛物线a m ax ax y (42++=≠)0与x 轴的交点为A （-1，0）B （x 2，0），则下列说法：①一元二次方程042=++m ax ax 的两根为3,131-=-=x x图7②原抛物线与y 轴交于C 点，CD ∥x 轴交抛物线于D 点，则CD=4 ③点E （1，1y ），点F （-5，2y ）在原抛物线上，则12y y > ④抛物线m ax ax y ---=42与原抛物线关于x 轴对称其中正确的是（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、②③D 、①③④4、对于抛物线y=x 2+mx+n,下列说法：（1）当n=4时，不论m 为何值时，抛物线一定过y 轴上一定点（2）若抛物线与x 轴有唯一公共点，则方程x 2+mx+n=0有两个相等的实数根（3）若抛物线与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于C 点，n=4，S △ABC =6，则解析式为y=x 2-5x+4（4）若6m 2+n=0，则方程x 2+mx+n=0的两根分别是2m 或-3m 其中正确的是（ ）A 、①②④B 、只有①②C 、只有①④D 、②③④5、对于抛物线y= ax 2+bx+c （a ≠0），下列说法：①若顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根②若抛物线经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0 ③若a-b+c=2，则抛物线必过某一定点④若2b=4a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0，必有一根为-2 其中正确的是（ ）A 、①②④B 、②③C 、③④D 、②③④ 6.对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，下列说法：①c a b +=时，方程02=++c bx ax 一定有实数根；②若a 、c 异号，则方程02=++c bx ax 一定有实数根；③052>-ac b 时，方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根；④若方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则方程02=++a bx cx 也一定有两个不相等实数根。

其中正确的是A 、①②③④B 、只有①②③C 、只有①②④D 、只有②④ 三、二次函数应用题1、家家乐超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元。

市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但售价不能低于48元，设每箱降价x 元（x 为正整数）（1）写出平均每天销售y （箱）与x （元）之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）如何定价才能能使超市平均每天销售这种牛奶的利润最大？最大利润为多少？2、黄陂木兰山宾馆有50个房间可供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需每天每间支出20元的各种费用。

（1）设每个房间每天的定价增加x 元，（X 是10的整数倍）已租住的房间数为y ，写出y 与x 的函数关系式。

（2）当每个房间每天的房价定为多少元时，宾馆每天的利润最大，最大利润是多少？3、某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y （件）与销售单价x （元/件）满足下表中的（1）已知每天的销售量y （件）是销售单价x （元）的一次函数，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

（2）当销售单价定为多少元时，公司销售该产品每天获得的利润最大？最大利润为多少？4、进价为每件40元的某商品，售价为每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如果每件的售价每下降1元，每星期可多卖出20件，但售价不能低于每件45元。