秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：注：方程：221mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。

秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：221mx ny +=交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22112222 1 (1)1 (2)mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y mk k k x n=-=中中。

(作为公式记住，在小题中直接用。

) 题型一：求值 ：〖母题1〗已知椭圆221164x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得：16421-=⨯-k ，得21-=k ，直线方程为：240x y --=。

1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x 【解析】:由结论可得：222111ab -=⨯-，得222b a =，3=c ，选D 。

2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -= 【解析】:由结论可得：()()221231501215ab =----⨯--，得2245b a =，3=c ，选B 。

3.(高考题)已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB . （1）求点B 的坐标;（2）若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.【解析】:(1)=+=4cos231πB x 4，14sin232=+-=πB y ，点B 的坐标为()4,1。

(2)点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线1:222=-y ax C 交于两点E 、F ，EF 中点为（4，1），则有E 、F 既在直线上又在曲线上；Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=-)2(1)1(12222221221y a x y a x ；Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：21.EF y k x a =中中，代入点)1,4(，得2a =。

4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点⎪⎭⎫⎝⎛m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的 斜率,若不能,说明理由.【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线)0(9:222>=+m m y x C 交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ；Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩；⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅=+)2(9)1(92222222121m y x m y x ； Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：9-=⋅l OM k k ；（2）设l 的斜率为k ，由9.-=k x y M M ①，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3m x k m y M M ②，联立得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-939,)9(33222k km m k m k mk M ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++-9618,)9(326222k km m k m k mk P ，代入椭圆中得：0817*******=+-+-k k k k ，()()098922=+-+k k k ，74±=k ，即存在。

5.(高考题)已知椭圆C的焦点分别为1(F -和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于 ,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.【解析】:法一：同上，作差得出中点的一个关系，又中点在直线上，解方程组得中点坐标为：：91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭。

法二：直线与椭圆联立，利用根与系数的关系。

6.(高考题)设椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点()0,4,离心率为35．（1）求C 的方程； （2）求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【解析】:(1)=b 4，53=a c ，得5,3==a c ，所以椭圆C 的方程为：2212516x y +=; (2)同上，用两种方法可得中点坐标为：36,25⎛⎫-⎪⎝⎭。

7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22221x y a b+=(0>>b a )右焦点的直线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12. （1）求M 的方程；（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。

【解析】:(1)代入右焦点()0,c 可得3=c ，由点差法可得2122-=-=⨯a b k k ABOP ，得222b a =，所以椭圆的方程为：13622=+y x ; (2) 设CD 方程：m x y +=，AB 、CD 方程与椭圆联立，由弦长公式得：364=AB ，2218322m CD -=，33<<-m ，当0=m 时，638max =S 。

题型二：求当AB k 为定值时，平行弦中点轨迹：1.(高考题)（1）求右焦点坐标是)0,2(,且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程;（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .设斜率为k 的直线l ,交椭圆C 于A B 、 两点,AB 的中点为M .证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.【解析】:(1)法一：设椭圆标准方程为：12222=+b y a x ，422+=b a ，即椭圆方程为142222=++by b x ，∵ 点(2,2--)在椭圆上，∴124422=++bb ，解得42=b 或22-=b (舍)，由此得82=a ，即椭圆的标准方程为：14822=+y x 。

法二：利用椭圆的定义，点)2,2(--到两焦点)0,2(、()0,2-距离之和为a 2=24。

（2）step1：设直线与曲线：设直线l 的方程为m kx y +=，与椭圆C 交于A (11,x y )，B (22,x y )两点；Step2：直线与曲线联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax mkx y ，得02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ；Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<,即222222k a b m k a b +<<+-，则2122222,a km x x b a k +=-+2122222b my y b a k +=+； Step4：代入得出结论：∴AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b kma ，即线段AB 的中点M 在过原点的直线022=+y k a x b 上。

法二：利用点差法可得（步骤同上）：22y a k x b⋅=-中中，即22a y x kb =-中中，即在过原点的定直线上。

（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；再作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心。

（4）题型三：求当直线l 恒过一定点(),e f 时，得定点弦中点轨迹：利用AB y fk x e-=-中中消去AB k 。

1.(高考题)设椭圆方程为:1422=+y x ,过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点,A B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21OB OA OP +=,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时.求:（1）动点P 的轨迹方程; （2）求PN 的最值.【解析】:（1）Step1：设l 的方程可设为1y kx =+；Step2：直线与曲线联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得032)4(22=-++kx x k ； Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x ；Step4：代入关系式：1()2OP OA OB =+=1212(,)22x x y y ++224(,)44k k k-=++，设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x (或利用点差法)； (2)2111,.1644x x ≤-≤≤22211||()()22NP x y =-+-2173()612x =-++，当41=x 时，||取最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值,最大值为6。

秒杀题型二：抛物线的中点弦问题：秒杀策略：抛物线：ⅰ.22.y px y k p =⇒=中;点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：px y 22=交于两点A 、B ，AB中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩；⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=)2(2)1(2222121px y px yStep3：作差得出结论：（1）-（2）得：22.y px y k p =⇒=中。