四川师范大学数学与软件科学学院
活动4
在下面的旗帜图表中填空：
+3 8 ×4 2 ×4 +3
用同一图表，我们在入口处填上不同的数字，在 出口处我们得到不同的数字： 3→(3+3)×4＝24 7→(7+3)×4＝40 □→(□+3)×4＝4(□+3) x→(x+3)×4＝4(x+3) 最后两个表达式代表的就是当输入任何数字时会 发生何种情况，这在代数里代表一个映射。映射 是一种描述数学运算效果的方式。
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活动3
选择＋、－、×或÷填在下面数学表达式中的三角形内： □△□＝10。现在选择一个数填在第一个方框内。 你能随便选一个数吗？还是你的选择受到了什么限制？ 假如是小学的孩子来做这个选择，会选择什么样的数字？ 选择了运算符号和第一个方框内的数字，那么第二个方 框内可以放什么样的数呢？ 有多少个这样的数字呢？ 第一个盒子数字的选择和第二个盒子数字的选择有什么 不同呢？ 另外选择一个运算，再重复上面的活动。 这个活动从哪个方面涉及到了代数？
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活动1－续1
再取一根绳子，对折。剪一刀，这一刀与绳子两 部分都相交。现在你得到了多少段？ 剪两刀，三刀，四刀，如此下去。每次你得到多 少段？ 如果给定剪的刀数，写下求段数的规则或公式。 想像一下，如果和第一部分一样把各段绳再连起 来，如果给定绳子段数，写出绳结个数的公式。 你的两个公式有什么关系呢？
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“数与代数”课程内容的主要特点
数与代数领域的内容包括数与式、 方程与不等式和函数，它们都是研 究现实世界数量关系和运动、变化 规律的数学模型。
现代技术手段（计算 机、计算器）的运用 作为教与学必不可少 的辅助手段
数与 代数
重视数字的现实意义以及对 数字的感受，体会数字用来 表示和交流的作用 突出代数的思维特征， 强化符号表示极其转换
• 量、关系和模型
量的认识 等量的关系，不等量的关系和变量间的依赖关系 学会抽象，一类一类的解决问题
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中小学数学教育中运算的三次飞跃
向量的运算 代数式运算 数的运算
中小学数学课程 的最基本的内容
奠定了表示各种 数学规律的基础 ，运用运算规律 进行恒等变形构 成学习、理解数 学的基本技能 形成了一个新的 运算体系，其中 的运算比实数要 丰富得多。向量 成为联系代数和 几何的一座“天 然的桥梁”，这 为我们开辟了数 学的一个新的天 地。
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活动1－续2
把你的绳子折两折，三折，四折，五折，等等， 重复上面的步骤。制一个表，并且把每种情况的 公式列在表中。你能看出什么模式吗？ 如果给定折数和刀数，给出一个求绳子的段数的 规则。 如果你知道绳子的段数，你能否逆用这个规则去 找一个求刀数/结数/折数的公式。
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活动2的思考
这个活动也是用一个具体的活动来获得一个规则， 并且引入了变量的概念。这可以用来说明不同的 代数表达式可能是相等的，这样就引入了表达式 的处理。 这个活动给学生机会明白，即使非常不同的表达 式都可能相等的，这个活动还给他们一种怎样操 作和简化表达式的感觉（这里大多数代数仍然没 有包含x和y！）。和处理形式的代数符号相比， 学生好像具有更强的能力来处理空盒子或者想像 云朵。
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活动4的思考2
假设给定了输出数，那么求输入数是很有意思的。
+3 ×4
20
-3
÷4
20
为了进行这个计算，必须把运算顺序反过来并且 用逆运算进行每个运算。这叫做逆映射。 逆运算对于学习解方程是很重要的。
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一个教学案例——“去括号”(1)
完善对结论的表述
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对上述案例的进一步思考
“多样化”与“优化” 算法多样化并不是让学生各自处于原有的知识 经验状态上止步不前，或放任自流，良莠不齐 地发展。在教学中除了提倡多种不同的算法外， 更应通过比较算法，使学生考虑哪些容易解释， 哪些容易运用，哪些更有效；能够分析为什么 要建立和如何建立算法。 丰富了学生的数学学习方式 独立建构；展示；争论；倾听；评价；猜想； 优化——“做数学”
自主探索 任务：让学生利用学具（如火柴棒）独立搭建 正方形，如图；并回答如些搭建1个、2个、 3 个、4个、x个正方形需要几根火柴棒？ 学生的回答可能主要有以下四种：
• • • • （1）2x+(x+1) （2）4x-(x-1) （3）4+3(x-1) （4）1+3x
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活动1的思考
这个活动是如何给初中低年级的学生引入规则/ 公式的？ 用这类的活动有什么好处？ 这个活动中，你希望你的学生取得多大的进步？ 想几个你自己的类似的活动，这些活动要能在课 堂上运用。
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活动2
用1cm2的正方形卡片如图一样做些大的 正方形图片框架。 用17个正方形你能建立的最大的这样的 框架是什么样的？ 你需要用全部的正方形吗？如果不要，你用了多 少个呢？ 多做几个不同尺寸的如此的正方形图片框架。就 每个框架你所需要的正方形个数列一张表。 如果我们把图片（里面的正方形）的边长叫尺码， 那么写下一个规则求每个图片框架所需要的正方 形个数。
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形式化的代数学习之前的准备工作
例：让一组六岁的孩子们数一组筹码（比如说15 个），然后你用一块布把这些筹码盖起来，并且 要一个孩子用手抓走一把筹码（比如说是6个）， 你可以期望孩子们预测出留在布下面的筹码有多 少个（9个）。但是你却不可能希望一个六岁的孩 子理解或解方程6 + x = 15 第一种情形下孩子们操作具体物体，寻找模型， 口头描述模型。 第二个例子很形式化，很符号化，很抽象。
•关于数与数量、数量 关系、运算结果估计 等方面的感悟 •建立数感有助于学生 理解现实生活中数的 意义，理解或表述具 体情境中的数量关系 •能够根据法则和运算 律正确地进行运算的 能力 •培养运算能力有助于 学生理解运算的算理， 寻求合理简洁的运算 途径解决问题 •能够理解并且运用符 号表示数、数量关系 和变化规律；知道使 用符号可以进行运算 和推理，得到的结论 具有一般性 •建立符号意识有助于 学生理解符号的使用 是数学表达和进行数 学思考的重要形式 •模型思想的建立是学 生体会和理解数学与 外部世界联系的基本 途径 •代数式、方程、函数、 不等式，及各种图表、 图形等都是数学模型
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抽象和概括
抽象和概括是两个非常重要的数学过程，要在代 数上取得成功，学生必须培养这两个过程。 讨论一下这些词语的意思。你能给出些例子吗？ 数学过程和数学技巧有什么不同？ 你认为一般的孩子在多大年龄的时候将被发展这 种过程到开始学习正式代数的必要水平？ 你可以怎样教授一个孩子去进行抽象或者概括？
一个教学案例——“去括号”(2)
讨论交流 将所得表达式不同的学生组成讨论小组，给予 每个学生展示自己算法的机会。 交流中他们发现虽然彼此的探索途径、结果表 达存在差异，但在具体的正方形个数中所用火 柴棒的数目并无差异，而且不同的过程并不存 在内部矛盾。 这促使学生猜想：这些不同的代数表达式本身 就可转化成同一种形式。那么：它们之间存在 哪些差异呢？如何将这些不同的代数表达式转 化为同一个呢？
通过探索丰富的问题情 景，使学生感受数学与 现实世界、数学与自然 和人类社会的密切联系
强调代数推理 使学生初步体会数学可以 帮助人们发现、描述、分析 客观世界中多种多样的模式， 把握事物的变化和事物间的关系
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初中“数与代数”的主线
• 数、字母和运算
“运算”是数学教育最深入人心的内容和思想。 代数问题就是运用运算和运算法则解决问题。
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活动3的思考
给第一个盒子选择完数字之后，第二个盒子还可 以做哪些选择？这时候选择只能局限于一个数字。 如果你选择“－”填入三角形内，选择15填入第 一个盒子内，那么你填入第二个盒子里的数只能 是5.这就使得变量和未知数之间的区别更明显。 一开始我们可以自由选择任何我们想选的数字填 入第一个盒子里（或者第二个盒子里），这个时 候两个盒子都是变量，但是，一旦一个数被选定 了，另一个数就决定了，即使我们不知道这个数 是什么？现在它还只是一个未知数。 这个活动可以为简单方程的许多类型提供早期经 验。
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一个教学案例——“去括号”(3)
比较优化 式（4）与其他三式不同，它不含括号，而且 特别简单、优美。 如何去掉其他三式的括号呢？ 选择式（1）、式（3）转化到式（4） 式（2）转化到式（4） 比较分辨：
• 4×3-(3-1)= 4×3-(-3)+1 • 4×3-(3-1)= 4×3-3+1 • 4×3-(3-1)= 4×3-3-1
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活动4的思考1
通过数字器的分析来表示映射对学生来说是一种 有效的方式。 一个包含数字器的盒子，盒子 一端有一个数，数字器对这个 数进行不同的运算，得到另一 个数字，而这个数字从盒子的 另一端出来。 也可以用其他的方式来表示映射，比如用旗帜图 或者流线图。这样的问题就包含了代数思维（但 是不含有x和y）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
活动2－续1
你是用同样的方法做所有的框架吗？ 例如，这个框架可以用两条长边和两 条短边来建成，然后把它们如图连接 起来。 因此，所用正方形的个数是： 两倍的尺码 加上 两倍的（尺码+2） 2× + 2× （ +2） 想另外一个方法来建立这些框架，并且用你的方法来推导 求你所用正方形个数的公式。 把你的工作和你组里的其他成员的工作做比较。 你注意到什么了？