2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={−2,3}，则M ∩N =( )A. ⌀B. {−2}C. {3}D. {−2,3} 2. 设a =40.1，，c =0.50.1，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a3. 已知函数的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f[f(13)]等于( )A. −13 B. 13 C. −23 D. 23 4. 下列函数中，既是偶函数又在(−∞,0)内为增函数的是( )A. y =(12)xB. y =x −2C. y =x 2+1D. y =log 2x5. 已知点(m , 9)在幂函数f (x )=(m −2)x n 的图象上，设a =f(m −13),b =f(ln(13))，c =f (√22)则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c6. sin(α−π2)=( )A. sinαB. −sinαC. cosαD. −cosα 7. 方程的根所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 8. 函数f(x)=ln(1−5x )的定义域是( )A. (−∞,0)B. (0,1)C. (−∞,1)D. (0,+∞)9. 已知a =sin2π7,b =cos12π7,c =tan 9π7，则( )A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. a >c >b10. 已知角θ的终边经过点(2,−3)，将角θ的终边顺时针旋转3π4后得到角β，则tanβ=( )A. −15B. 5C. 15D. −511. 已知f(x)是定义在R 上的函数，图象关于y 轴对称，且在x ∈[0,+∞)单调递增．f(−2)=1，那么f(x)≤1的 解集是( )A. [−2,2]B. (−1,2)C. [−1,2]D. (−2,2)12. 设函数f (x )={x 2+4x +2,x ≤0|2−x |,x >0，则函数g (x )=f (x )−ln (x +e 2)的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数y =(m 2−5m −5)x 2m+1在(0,3]上有最小值，则实数m =__________． 14. 函数y =sin x3的单调增区间为________．15. 已知函数f (x )=lg (−x 2+2ax )在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值集合是______． 16. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1x +2x,x >1，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|12≤2x−4≤4}，B ={x|log 3(2x +1)>2}．(Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)已知C ={x|a <x <a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．18.，求tanα的值．19.求函数y=3cos(2x−π),x∈[0,π]上的最值，以及单调区间．320.已知函数f(x)=x2+4x−3x．(1)分别判断f(x)在区间(0,1)和(2,3)上是否存在零点；(C>0)在区间D上的值域的子集，则称函(2)设函数y=φ(x)在区间D上的值域是函数y=C2φ(x)数φ(x)在区间D上的几何平均数为C.若函数g(x)=f(x)+3x−2在区间[2,4]上的几何平均数小于函数ℎ(x)=a−1+(4−a)(log2x−log4x)在区间[2,4]上的几何平均数，求正数a的取值范围．)=ax(a为常数)，且f(1)=3．21.已知函数f(x)满足2f(x)−f(1x(Ⅰ)求实数a的值，并求出函数f(x)的解析式；(Ⅱ)当x>0时，讨论函数f(x)的单调性，并用定义证明你的结论．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：M={x|−2≤x≤2}，且N={−2,3}；∴M∩N={−2}．故选：B．容易求出集合M={x|−2≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查指对数函数的性质，属于基础题．借助中间量“0”，“1”比较大小．【解答】解：a=40.1>40=1，，0<c=0.50.1<0.50=1，∴a>c>b．故选B．3.答案：B解析：由图可知，函数f(x)的解析式为．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．据偶函数的定义以及幂函数的单调性可知选B．【解答】解：设f(x)=x−2，∴f(−x)=(−x)−2=x−2=f(x)，∴f(x)=x−2为偶函数，根据幂函数的单调性知，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，根据对称性知，f(x)=x−2在(−∞,0)上是增函数．5.答案：A解析： 【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再把点的坐标代入求出n 的值，由此写出f(x)的解析式，根据f(x)的图象与性质判断a <c <b ．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题． 【解答】解：函数f(x)=(m −2)x n 是幂函数， ∴m −2=1解得m =3， 又点(3,9)在f(x)的图象上， 即3n =9，解得n =2； ∴f(x)=x 2，∴f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上是单调增函数； ∴m−13=3−13=(13)13，ln 13=−ln3，√22=(12)12，且0<(13)13<(12)12<ln3，∴a <c <b ． 故选A ．6.答案：D解析：解：sin(α−π2)=−cosα， 故选：D ．运用诱导公式化简求值即可．本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．7.答案：A解析： 【分析】本题主要考查零点存在定理，属于基础题．解题关键是计算区间端点处的函数值，判断它们的符号．解：构造函数，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f (127)=−3+127+2=127−1<0，f (1)=3>0， 所以方程的根所在的区间为(0,1)，故选A ．8.答案：A解析：解：由题意得：1−5x >0， 解得：x <0，故函数的定义域是(−∞,0)， 故选：A ．根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．9.答案：C解析： 【分析】本题考查了诱导公式以及正弦、余弦和正切函数的单调性问题，是基础题． 利用诱导公式将b 、c 化为锐角的三角函数，根据正弦、余弦和正切函数在上的单调性，即可比较a 、b 、c 的大小． 【解答】解：根据诱导公式得： b =cos 12π7=cos(2π−2π7)=cos 2π7，c =tan 9π7=tan(π+2π7)=tan 2π7．又∵π4<2π7<π2，且y =sinx ，y =tanx 在上都是单调递增函数，y =cosx 在上是单调递减函数， ，，，即cos 2π7<√22，√22<sin2π7<1，tan2π7>1，∴cos2π7<sin 2π7<tan2π7，∴b <a <c ，即c >a >b ．10.答案：A解析：解：根据角θ的终边经过点(2,−3)，可得tanα=−32．∵θ的终边按顺时针方向旋转3π4后，与角β的终边重合，∴tanβ=tan(θ−3π4)=tanθ−tan3π41+tanθtan3π4=−32−(−1)1+(−32)×(−1)=−15．故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再由tanβ=tan(θ−3π4)，展开两角差的正切求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，属于基础题．11.答案：A解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数，则f(−2)=f(2)，∵函数f(x)在区间x∈[0,+∞)上为增函数，f(x)≤1，∴|x|≤2，∴−2≤x≤2，故选A．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，得出具体不等式，即可得出结论．本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数零点存在性定理，属于中档题．【解答】解：函数的零点个数，等价于函数y=f(x)的图像与函数的图像的交点个数，在同一坐标系中画出函数y=f(x)，的图像：由图像可知，两函数图像有3个交点，即函数g(x)有3个零点，故选C．13.答案：−1解析：∵y=(m2−5m−5)x2m+1是幂函数，且在(0,+∞)上为减函数，∴m2−5m−5=1，解得m= 6或m=−1，当m=6时，y=(m2−5m−5)x2m+1=x13不满足，当m=−1时，y=(m2−5m−5)x2m+1=x−1满足在(0,+∞)上为减函数.故答案为：m=−1．14.答案：[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k∈Z)解析：【分析】本题主要考查了三角函数的单调性的应用，常考题型．根据正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．【解答】解：因为函数y=sin x3，由−π2+2kπ≤x3≤π2+2kπ,k∈Z，即−3π2+6kπ≤x≤3π2+6kπ,k∈Z，所以函数的单调增区间为[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k∈Z).故答案为[−3π2+6kπ,3π2+6kπ](k∈Z).15.答案：{1}解析：【分析】本题考查了对数函数的性质与应用问题，复合函数的单调性的应用，是中档题．函数f(x)在(1,2)上为减函数，通过复合函数的单调性，列出不等式，即可求解实数a的范围．【解答】解：函数f(x)=lg(−x2+2ax)在区间(1,2)上是减函数，所以，函数y=lgu是增函数，u=−x2+2ax在区间(1,2)为减函数，二次函数的对称轴为x=a，可知a≤1，并且u(2)=−4+4a≥0，解得a≥1，综上，实数a的取值集合是：{1}．故答案为：{1}．16.答案：[−4716,2]解析：【分析】本题考查分段函数，二次函数，利用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想和分离参数法，以及转化思想的运用，属于难题．当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得−x2+12x−3≤a≤x2−32x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；当x>1时，同样可得−(32x+2x)≤a≤x2+2x，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f(x)≥|x2+a|在R上恒成立，即为−x2+x−3≤x2+a≤x2−x+3，即有−x2+12x−3≤a≤x2−32x+3，由y=−x2+12x−3的对称轴为x=14<1，可得x=14处取得最大值−4716；由y=x2−32x+3的对称轴为x=34<1，可得x=34处取得最小值3916，则−4716≤a≤3916，①当x>1时，关于x的不等式f(x)≥|x2+a|在R上恒成立，即为−(x+2x )≤x2+a≤x+2x，即有−(32x+2x)≤a≤x2+2x，由y=−(32x+2x)≤−2√3x2⋅2x=−2√3，当且仅当x=√3>1时取得最大值−2√3；由y=12x+2x≥2√12x⋅2x=2，当且仅当x=2>1时取得最小值2．则−2√3≤a≤2，②由①②可得，−4716≤a≤2．故答案为[−4716,2]． 17.答案：解：(Ⅰ)解不等式12≤2x−4≤4，得：3≤x ≤6，即A ={x|3≤x ≤6}， 解不等式log 3(2x +1)>2，得：2x +1>9，x >4，即B ={x|x >4}，故A ∩B ={x|4<x ≤6}；(Ⅱ)由C ⊆B ，得：a ≥4．解析：本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题． (Ⅰ)由指数不等式、对数不等式的解法得集合A ，B ，再由交集的定义得A ∩B ； (Ⅱ)由集合的包含关系得：C ⊆B ，得a ≥4，得解．18.答案：解：由sinα+3cosα3cosα−sinα=5，得tanα+33−tanα=5，所以tanα=2．解析：本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题．利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．19.答案：解：由余弦曲线可知−π+2kπ⩽2x −π3⩽2kπ,k ∈z ，在−π3+kπ⩽x ⩽π6+kπ上单调递增，又可知在π6+kπ⩽x ⩽2π3+kπ上单调递减 ，又x ∈[0,π]，则递增区间为[0,π6]和[2π3,π]，递减区间为[π6,2π3] ， 当x =π6时，y max =3 ；当x =2π3时，y min =−3．解析：本题考查在指定区间上的最值以及单调区间，难度一般， 直接根据余弦函数的图象性质即可解答．20.答案：解：(1)∵f(0)=−1<0，f(1)=2>0，f(2)=3>0，f(3)=−6<0， ∴f(x)在区间(0,1)，(2,3)上都存在零点．(2)设函数g(x)，ℎ(x)在区间[2,4]上的几何平均数分别为C 1，C 2．∵g(x)=x 2+4x −2在[2,4]上的值域为[10,30]，，∴{C 1210⩾30C 1230⩽10⇒C 12=300,∵C 1>0,∴C 1=10√3．，∴当4−a>0，即a<4时，ℎ(x)∈[12a+1,3]，a>0，同上可得C2=√3(12a+1)，，∴a>198，旦a<4，故不合题意．当4−a<0，即a>4时，ℎ(x)∈[3,12a+1]，同理可得，∴a>198．当a=4时，ℎ(x)=3，不合题意．综上，正数a的取值范围为(198,+∞)．解析：本题考查函数的零点判定定理的应用以及函数值域问题，属于较难题．(1)运用零点判定定理判断，即可得到答案；(2)设函数g(x)，ℎ(x)在区间[2,4]上的几何平均数分别为C1，C2．∵g(x)=x2+4x−2在[2,4]上的值域为[10,30]，，由此求出C1=10√3.再对a分类讨论求出函数的值域，得到a的不等式，解得a的取值范围．21.答案：解：(Ⅰ)∵2f(1)−f(1)=f(1)=a=3,∴a=3，∴2f(x)−f(1x )=3x,同时有2f(1x)−f(x)=3x,解得f(x)=2x+1x；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+1x，可知函数f(x)在(0,√22]上是减函数，在(√22,+∞)上是增函数，不妨设0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=2x1+1x1−2x2−1x2=2(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)⋅2x1x2−1x1x2，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0,x1x2>0，当0<x1<x2≤√22时，2x1x2−1<0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,√22]上是减函数，当√22<x1<x2时，2x1x2−1>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(√22,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数解析式的求解以及单调性的证明，属于中档题．(Ⅰ)由f(1)=3，解方程得到a的值即可，构造关于f(x),f(1x)的方程组，解得f(x)的解析式；(Ⅱ)函数f(x)在(0,√22]上是减函数，在(√22,+∞)上是增函数，用定义法证明即可．22.答案：解：(1)设x1，x2∈(0,2)(x1<x2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1， 所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间，所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1， 所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0， 所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0， 即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1， 所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。