三、不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
d f ( x )dx f ( x ), 1、 dx
2、 F ( x )dx F ( x ) C ,
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
或

dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与积分的运算是互逆的.
一、直接积分法
例题：
dx (1) 3 x 31 x 3 C x dx
3 1
(2)
x
2
xdx
x
x
5 2
不能漏写 积分常数
dx
7 2
1 2 C 2x
2 5 C x C 7 2 1
5 1 2
(3)、 2 e dx
x x
x x ( 2e ) 原式 ( 2e ) dx C 2 e C ln(2e ) ln 2 1
.
◆基本积分表 P94
(1) 0dx C (2) kdx kx C 1 1 x C (3) x dx 1 ( 1) 1 (4) dx ln x C x (5) e dx e C x a x (6) a dx C ln a
v v(t ) ,则物体运动的位移如何计
算呢?

?
v(t )
例 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切
线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解
设曲线方程为 y f ( x ),
根据题意知
dy 2 x, dx
1、定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx, 则称 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 内的 一个原函数。
1）如果有 F ( x) f ( x)，则
结论：如果函数 f ( x) 在区间 I 内有原函数 F ( x) ，则 f ( x) 有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F ( x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
二、不定积分的概念 函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称 为函数 f(x)在区间I内的不定积分，记作 。
x
x
1 (7) dx arctan x C 2 1 x arc cot x C 1 (8) dx arcsin x C 1 x 2 arccos x C (9) sin xdx cos x C (10) cos xdx sin x C (11) sec xdx tan x C
2
(12) csc xdx cot x C
2
(13) sec x tan xdx sec x C (14) csc x cot xdx csc x C
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法
第一类换元积分法
第二类换元积分法
高等数学
第三章
不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的计算
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数
二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念 引例：已知物体的运动方程为 s s(t ),则物体 速度方程为 运动的即时速度为 v(t ) s(t ) ;如果已知物体的
例如:因为
所以
sin x cos x
在
x R
sin x 是 cos x
, (2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
F ( x) C f ( x) 2）如果 F ( x) G( x) f ( x ，则 。 ) F ( x) G( x) C （常数）
sin x 3 1 ( 2 cos2 x sin 2 x )dx
1 cos x 3 tan x cot x C 2
3. kf ( x )dx k f ( x )dx
( k 0)
4. [ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y f ( x ),
dy 根据题意知 2 x, dx 2 2 2 xdx x C , f ( x ) x C ,
由曲线通过点（2，5） 代入上式，得 c
2 y x 1. 所求曲线方程为
1,
函数f ( x ) 的原函数的图形称为f ( x ) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
即
f ( x )dx F ( x ) C f ( x)为被积函数
积 分 号 被 积 表 达 式
f ( x)dx
积 分 变 量
任 意 常 数
注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数 形式不一定相同，只要相差一个常数即可。
验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数
例 题
解
1 所以 arctan x是 的一个原函数， 2 1 x dx 故 arctan x C 2 1 x
1 由于 (arctan x) ' , 2 1 x
1 1、求 dx 2 1 x
2、求
解
因为

1 ln | x | x
1 dx x
1 所以 x dx ln | x | C, (x 0).
x x
(5)
3 1 5 [ 3sin x]dx 2 2(1 x ) 3 1 x 2 x
3 1 1 1 1 dx dx 5 dx 3 sin xdx 2 2 1 x 3 x 1 x2
3 1 arctan x arcsin x 5ln | x | 3cos x C 2 3