小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）内容概述1．找规律这类题目，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质数或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，菲波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。

2．定义新运算这类题目要求我们严格按照题目中给出的公式和新运算符号的定义进行计算。

某些比较复杂的题也会用到解方程的方法。

譬如：已知a*b=2a+3b, 3*x=21, 求x的值；有6+3x=21，则x=5。

例题分析【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：⑴ 3，5，7，11，15，19，23，……⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，……⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，……⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，……分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。

因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。

【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 （）10 10 5 11 6 15 （）15 6 1（2） 12 43 6 94 8 12 165 10 15 ( ) 256 12 18 24 30 367 ( ) 21 28 35 42 49分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

（）处分别填上5、20。

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。

【例3】（☆☆）有一串数“1、3、11、47、﹡、1439、…”中“*”所代表的数是多少？分析：将原数列中每个数分别加上1，则可得：2，4，12，48，*+1，1440，……，猜测相邻两项的倍数依次是2，3，4，5，6，……，那么*+1=48×5=240=1440÷6，说明猜测无误，则*=240-1=239，原数列的第n 项=[ 第(n -1)项+1 ]×n -1。

【例4】（☆☆）在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……分析：运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。

【例5】（☆☆）从1开始连续n 个自然数的和的个位数字可以有多少种不同的数字？分析：1≤n ≤20时，前n 个自然数之和的个位数字依次是1，3，6，0，5，1，8，6，5，5，6，8，1，5，0，6，3，1，0，0。

当n =21，22，23，……时，前n 个自然数之和的个位数字与n =1，2，3，……时相同，所以从1开始连续n 个自然数的和的个位数字可以有6种（0，1，3，5，6，8）不同的数字。

【例6】（☆☆☆）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，……一共2005项，其中一共有多少个是6的倍数？分析：这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列。

这串数除以6的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，……，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是5，2，则下一个数是（5+2）/6的余数，为1 。

余数数列从第一个起，每24个循环一次，每一次循环中有两个数是6的倍数，而2005 =24×83+13，所以这2005个数中一共有2×83+1=167个是6的倍数。

例3和例5都是要找出循环的规律，然后用周期问题加以解决。

【例7】（☆☆☆）有一列数：1，1999，1998，1，1997，1996，1，1995，……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第2000个数是多少？分析：观察可知，从第一个数起，每三个数中就有一个是1，而去掉1剩余的数是以1999为首项的连续递减自然数，又2000=3×666+2，说明第2000个数是（1999+1）-2×666-1=667。

补充一问：这一列数中最小的数是多少？分析：表面上看好象最小的数是1，其实经计算可得，后边几项为1，3，2，1，1，0，1，1，0……，即从第2998项开始，后边的数以1，1，0的方式循环，所以这个数列中最小的数是0。

【例8】（☆☆☆）如果b a 表示)23(b a -，例如2524354=⨯-⨯= ，那么5 x 比x 5大5时，那么x 等于几？分析：根据定义5 x =103523-=⨯-x x ，x 5x x 215253-=-⨯，则5215103+-=-x x ，解得x =6。

【例9】（☆☆☆）对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：)1()2)(1(-+++=*b a a a a b a 如果36602)3(=**x ，那么x 等于几？分析：法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数。

3660=60 61⨯，即3660260=*，则603=*x ；60= 543⨯⨯，即33*=60，所以x 等于3。

法二：可以先将（x*3）看作一个整体y ，那么就是y*2=3660，y*2=y （y+1）=3660=60×61,所以y=60，那么也就有x*3=60，60= 543⨯⨯，即33*=60，所以x 等于3。

【例10】（☆☆☆）规定aΔb=a(a+2)－(a+1)－b, 计算：（2Δ1）+…+（11Δ10）=______。

分析：这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和。

但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把b=a-1代入原定义。

aΔb=a(a+2)－(a+1)－b 就变成了aΔ（a-1）=a(a+2)－(a+1)－（a-1）=2a .所以2Δ1=22，3Δ2=23，……，11Δ10=211，则原式=22+23+24+…+211=50516231211=-⨯⨯。

小结：这里需要补充一个公式：从1开始的连续自然数的平方和公式：1×1+2×2+3×3+……+n×n=n(n+1)(2n+1) ÷6 .【例11】（☆☆☆）规定数a 、b 之差（大减小）即为aΔb,那么（…（（（1Δ2）Δ3）Δ4）Δ…Δ99）Δ100=___。

分析：1Δ2=1，（（1Δ2）Δ3）=1Δ3=2，（（（1Δ2）Δ3）Δ4）=2，（（（（1Δ2）Δ3）Δ4）Δ5=3，3Δ6=3，3Δ7=4，4Δ8=4，4Δ9=5，5Δ10=5，……，观察可知运算的结果依次是1，2，2，3，3，4，4，5，5，……，则原式=100÷2=50.【例12】（☆☆☆☆）定义b a *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如7*14=（7+9+11+13）÷4=10，18*10=（18+16+14+12+10）÷5=14。

在算术□*（19*99）=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？分析：19*99=（19+99）÷2=59，所以方格中填的数一定大于80。

如果填的是个奇数，那么只能是80×2-59=101；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80×2-60=100。

因此所填的数可能是100和101。

附加题目说明：附加题目供老师根据上课时间选讲，学生版讲义没有附加题目。

【附1】（第四届“华杯赛”复赛第8题）将自然数按如下顺次排列：1 2 6 7 15 16…3 5 8 14 17 …4 9 13 …10 12 …11 …在这样的排列下，3排在第二行第-列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列?分析：奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增.第n 斜行中最大的数是n S =21n(n+1).第62斜行中最大的数是21×62×63=1953.第63斜行中最大的数是1953+63。

2016.所以1993位于第63斜行.第63斜行中数是由下向上递增，左边第-住数字是1954.因此，1993位于第63斜行由上向下数第(1993—1954+1)=40位.即原阵列的第(63—40+1)=24行，第40列.【附2】在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几（从左往右数）?分析：（1）48 ；观察可知在图形中第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，所以第9行的最后一个数为45，那么第10行为：46，47，48，49，…（2）53 ；行数为奇数的数字从左往右写，行数为偶数的数字从右往左写，45在第9行最右端，第10行最右端第一个数为46，所以第10行的数从右往左是：46，47，48，49，50，51，52，53，54，55，从左往右数第三个数为53。

【附3】（1995年小学数学奥林匹克初赛民族卷第10题）有-列数：2、3、6、8、8、…从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这-列数的第80个数应是 .分析：这串数为2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6、…，除去前两个数外，其余各数每六个-组，按6、8、8、4、2、8的顺序重复出现.(80—2)÷6=78÷6=13，因此，这串数的第80个数是8.练习1、找规律（1）3，4，6，9，14，22，（ ），56……（2）1，4，8，13，19，（ ），34，（ ），……（3）2，3，5，7，11，13，（ ），19……（4）1，2，2，4，8，32，（ ）……（5）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ），（ ）……2、有一列数3，1000，997，3，994，991，……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现时在这列数的第几个？3、一串数排成一行：头两个数都是1，从第三个数起，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...问：这串数的前100个数中（包括其100个数）有多少个偶数？4、定义A ◎B 表示A 、B 之间所有奇数的和，例如12◎7=9+11=20，计算（2◎10）◎19。