空间向量基本定理
学习目的：
⒈了解空间向量基本定理及其推论；
⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出
⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物． 学习重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 学习难点：空间作图． 学习过程：
一、复习引入： 1.空间向量的概念： 2.空间向量的运算 3.平面向量共线定理 4.共线向量
如果 ，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a
//．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同一直
线，也可能是平行直线．
5.共线向量定理： .
6.向量与平面平行： .
7.共面向量定理：
. 二、讲解新课：
1.空间向量基本定理：
证明：（存在性）
（唯一性）
说明:
(1)若三向量123,,e e e 不共面,则所有空间向量组成的集合是123,,}{|,e e e x y z R p p x y z ∈=++，这个集合可以看作由向量123,,e e e 生成的,所以我们把123,,{}e e e 叫做空间的一个基底，123,,e e e 叫做基向量; (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;
(3)若空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用,,{}i j k 表示. 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使
OP xOA yOB zOC =++
三、讲解范例：
例1、在正方体'''B D CA OADB -中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是'OD 与CE 的交点，试 分别用向量OC OB OA ,,表示向量.,'OM OD
例2、已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG ，MG
例3、如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,E F G 分别是,,A D D D D C '''''的中点，请选择
恰当的基底向量证明： （1）//EG AC （2）平面//EFG AB C '平面
四、课堂练习：课本88页练习
五、课堂小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 六、作业 1:
1．点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，又OA →，OB →，OC →
为空间的一个基底，则下列命题中，正确的是
（1）O ，A ，B ，C 四点不共线 （2）O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 （3）O ，A ，B ，C 中任意三点不共线 (4) O ，A ，B ，C 四点不共线。

2．向量组{a →，b →，c →}为空间的一个基底，若存在实数x ，y ，z ，使得 x a → +y b → +z c → =0→
，则必有x +y +z = 。

3．已知向量组{a →，b →，c →}为空间的一个基底，若向量x a → +y b → +c →与a → +x b → +y c →
共线， 则x= ，y= 。

4．在空间平移△ABC 到△A'B'C'，连接对应顶点，设AA'→=a →，AB →=b →，AC →=c →
，M 是BC'的中点，N 是B'C'的中点，用基底{a →，b →，c →}表示向量MN →
等于
5．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a →=OA →+OB →+OC →，向量b →=OA →+OB →−OC →，则与a →
，b →能构成空间基底的向量 （1）OA → （2）OB → （3）OC → （4）OA →或OB → 6．设向量{a →，b →，c →
}是空间的一个基底，设+=+=+=,,，给出下列向量组： },,){4(},,,){3(},,,){2(},,,){1(c b a y x z c b z y x x b a ++,可以构成空间的基底的向量有 个。

7．已知{e 1→，e 2→，e 3→}为空间的一个基底，且OP →= 2e 1→−e 2→+3e 3→，OA →= e 1→+2e 2→−e 3→，OB →= −3e 1→+e 2→+2e 3→，OC →= e 1→+e 2→−e 3→。

（1）判断P ，A ，B ，C 四点是否共面；
（2）能否以{OA →，OB →，OC →
}作为空间的一个基底？若不能，说明理由； 若能，试用这一基底表示向量OP →。