高等教育出版社
§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例9 若数列{an } 单调且收敛于零, 则级数
an cos nx
(15)
在[, 2π ](0 π) 上一致收敛.
证 由十二章14讲的 (21)式, 在[α, 2π- α]上有
n
| coskx |
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例10 设 u1( x)在 [a, b] 上可积,
un1( x)
x u (t )dt,
an
n 1,2,,
证明函数项级数 un1( x) 在[a, b] 上一致收敛.
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例10 设 u1(t ) 在 [a, b] 上可积,
un1( x)
x u (t )dt,
an
n 1,2,,
证明 函数项级数 un1( x) 在[a, b] 上一致收敛.
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 对于例9中的级数(15), 只要{an } 单调且收敛于零, 级 数(15)就在不包含 2kπ (k 0, 1, 2, ) 的任何闭区 间上一致收敛.
k 1
sin(n
1 2
)
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2sin x 2
2
1 2
1 1 1 1 ,
sin x 2
2 2sin
2
2
所以级数 cos nx 的部分和数列在[ , 2π ] 上一
致有界, 于是令 un( x) cos nx, vn ( x) an ,
则由狄利克雷判别法可得级数(15)在[, 2π ]上
一致收敛.
n1
由数学归纳法容易得到
| un1( x) |
x
a | un (t ) | dt
x M ( x a) n1 dt a (n 1)!
M (x a)n M (b a)n .
n!
n!
因为数项级数
M
n1
(b
a)n n!
收敛, 所以根据优级数
判别法知原级数在[a, b]上一致收敛.
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n1
nn1
在[0, 1]上一致收敛.
因为
(1)n( x n)n (1)n ( x n)n ,
nn1
n
nn
记
un
(x)
(1)n n
,
vn( x)
1
x n
n
，
则 un 在[0, 1]上一致收敛，vn( x) 在[0, 1]上单调增
且一致有界, 由阿贝尔判别法就能得到结果.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
n1
证 因为 u1(t )在 [a, b]上可积, 所以存在M 0 , 使
得 | u1( x) | M，于是有
x
| u2( x) | a | u1(t ) | dt M ( x a),
x
x
| u3( x) |
a | u2 (t) | dt
M(x a) dt
a
M (x a)2 , 2!
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第六讲 一致收敛的例题
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
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函数项级数的一致 收敛性判别法
例8
函数项级数
(1)n( x n)n
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复习思考题
1. 总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法 (不局限于书上现成的判别法); 判别不一致收敛通 常可以使用哪些方法呢？ 2. 给出函数项级数在 D上不一致收敛的柯西准则 (即柯西收敛准则的否定形式).
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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