K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0]
3、求渐近线：
渐近线与实轴夹角为：
j 1
i1
d
ds
n j 1
(s
pj
)
K*
d ds
m
(s zi )
i1
(2)
(2) (1)
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s p j ) (s zi )
j 1
i 1
d ln
n
(s
j 1
pj )
d ln
m i 1
(s zi )
ds
ds
n d ln(s pj ) m d ln(s zi )
j 1
ds
i1
ds
n
1
m
1
j1 s p j i1 s zi
m
若无开环零点，则：
1
0
i1 d zi
注意：
➢一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这 两相邻极点之间必有分离点； ➢ 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点） 之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 ➢ 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们 之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会 合点。
i 1
j2
p1 s1•
1
4
p4 z
p2
2
3
p3
在离开p1附近的根轨迹上取一点 s1,则s1点应满足相角条件：
(s1 p1) (s1 p2) (s1 p3) (s1 p4) 1 2 3 4 (2k 1)
当 s1 p1 时，1 即为离开根轨迹上 p1 的起始角，1 p1 ，则：
系统动态响应（稳定
因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性 能。
（1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。
（2）稳态性能：ess
2 K*
（3）动态性能：0<K*<1，两个不等负实根，过阻尼系统；
K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统；
K*>1，一对共轭复根，欠阻尼系统；
二、根轨迹方程
K*
nm0
lim
s
p1
s s z1
s pn lim s nm s zm s
2、根轨迹的分支数及对称性和连续性
（1）根轨迹分支数＝特征根个数。
（2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对 称于实轴。
（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。
3、根轨迹的渐近线：
n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交 点和夹角为：
m
n
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
i 1
j2
根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处
切线与正实轴的夹角：
n
m
z1 (2k 1) (z1 p j ) (z1 zi )
j 1
i2
例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为
K*(s 2) G(s)
m
分离点坐标d的求解：
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
证明：
m
n
F(s) K* (s zi ) (s pj ) 0
i1
j 1
dF(s)
ds
d ds
K
*
m i 1
(s zi )
n
(s
j 1
pj) 0
n
m
(s pj ) K* (s zi )
(1)
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。
举例：
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
(s)
s2
K* 2s
(s 1 j 3)(s 1 j 3)
绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值 范围。
解： 1、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有 一个无穷远处的零点。
2、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2]。
3、初始角： p1 180 (60 90 ) 150 , p2 150
4、求分离点：
渐近线与实轴交点为：
(2k 1)
3
,k 31
0,1 1
, 2
2
2
0231 2 31
4、求分离点：
1
1
d1 d
d
2.47
1 d2
1 d3
j
2.47 3 2 1 0
6、根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
m
n
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
a
(2k 1)
nm
4、实轴上的根轨迹 实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总 和为奇数，该区域为根轨迹。
1 2 3 [1 2 3 4 5 ]
0 3600 [1800 3600 0 0] 1800
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会 合点。