解析 如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离. 再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F， 连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC. 所以 PE＝PF＝ 3，所以 OE＝OF， 所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°. 在 Rt△PEC 中，PC＝2，PE＝ 3，所以 CE＝1， 所以 OE＝1，所以 PO＝ PE2－OE2＝ （ 3）2－12＝ 2. 答案 2
A.m＝n
12
B.m＝n＋2
C.m＜n
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D.m＋n＜8
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@《解 过点C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE， 所以DE⊥平面C1CE， 故DE⊥CH.又C1E∩DE＝E，所以CH⊥平面C1DE， 故CH的长即为点C到平面C1DE的距离. 由已知可得CE＝1，C1C＝4，
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解析 连接 BD，BE，∵点 N 是正方形 ABCD 的中心，∴点 N 在 BD 上，且 BN＝DN，∴BM，EN 是△DBE 的中线，∴BM，
EN 必相交.连接 CM，设 DE＝a，则 EC＝DC＝a，MC＝ 23a， ∵平面 ECD⊥平面 ABCD，且 BC⊥DC，∴BC⊥平面 EDC，则
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热点一 空间点、线、面位置关系 【例1】 (1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面
α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分 别记为m，n，则下列结论正确的是( )
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第2讲 空间中的平行与垂直
1
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高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择 题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直 的证明，并与空间角的计算综合命题.
2
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真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥
平面ABCD，M是线段ED的中点，则( ) A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
所以 C1E＝
17，故
CH＝4
17 17 .
从而点 C 到平面 C1DE 的距离为41717.
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考点整合 1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
(1)证明 连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，
所以 ME∥B1C，且 ME＝12B1C.
又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND＝12A1D. 由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.
又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
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(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.
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因为 ED1＝23DD1，AG＝23AA1，DD1 綊 AA1，所以 ED1 綊 AG，于是四边形 ED1GA 为
平行四边形，故 AE∥GD1. 因为 B1F＝13BB1，A1G＝13AA1，BB1 綊 AA1，所以 B1FGA1 是平行四边形，所以 FG 綊
A1B1，所以 FG 綊 C1D1，四边形 FGD1C1 为平行四边形，故 GD1∥FC1. 于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.
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4.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱 形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC， BB1，A1D的中点. (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求点C到平面C1DE的距离.
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3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分 别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明： (1)当AB＝BC时，EF⊥AC； (2)点C1在平面AEF内. 证明 (1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC， 所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD. 又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1. 又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D. 由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
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2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
BD＝ 2a，BE＝ a2＋a2＝ 2a，BM＝
23a2＋a2＝
27a，又
EN＝ a22＋ 23a2＝a，故 BM≠EN.
答案 B
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2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P 为平面 ABC 外一点，PC＝2，点 P 到∠ACB 两 边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为________.