第四节 介质的麦克斯韦方程组
介质的概念 从电磁学的观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内
部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。研究宏观电磁 现象时，所讨论的物理量是一个包含大数目分子的小体积内 的平均值，称为宏观物理量。
在外场下，介质的带电粒子受到作用，分子电偶极矩的 取向以及分子电流的取向呈现一定的规则性，即介质的极化 和磁化。由于极化或磁化，介质内部及表面出现宏观电荷、 电流分布，称为束缚电荷、磁化电流；它们又反过来激发附 加的宏观电磁场，外场与附加电磁场叠加即为总电磁场。
▪（电）介质的极化
电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得很紧，
即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原子核有一微观的位
移，而不象导体中的电子能够脱离所属原子作宏观运动。因而电
介质亦称绝缘体。在外电场作用下达到静电平衡时，电介质内部
的场强也可以不等于零。
1. 电介质的分类
a) 有极分子：如氯化氢(HCl)、水(H2O)、氨(NH3)、甲醇
位移电流的实质是电场 的变化率，由麦克斯韦 首先引入
vv
vv
B 0J 0(J JD )
r JD
0
r E t
r JD
0
r E t
r
洛仑兹公式
场对处于其内的电荷体系的作用：
库仑定律 安培定律
v
v
dFe dV E 电荷系统单 v
v vv
v v v 位体积所受 f E J B
S
V
对任意体积V均成立，则 被积函数相等，有：
v
E 0/0
高斯定理微分形式的物理意义：静电场中，电荷是电场的源，在没有电荷分 布的地点，既无电场线发出，也无电场线终止，但可以有电场线连续通过该 处。而对于运动电荷，即非静电场，远处的场不能再用库仑定律，但高斯定 理微分形式仍然适用。
静电场的旋度
vv
vv v
i B dl 0 (J JD ) dS
Sv B 0
Cv
vS v
B 0(J JD )
位移电流
v
v JD
0
E t
电荷守恒定律：
v J
0
t
洛伦兹力密度，普遍情况下场 对电荷系统的作用：
v v vv
f EJB
麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式，前者反映电磁场的运动规律， 后者反映它和带电物质的相互作用规律。二者是电动力学的理论 基础。其它电磁规律，如欧姆定律、介质的极化和磁化规律，均 可由上述理论结合物质结构模型，用量子力学方法推导出来。
Q dQ dQ dV dV
V0 V dV
lim 面电荷 xr
Q dQdQ dS dS
S0 S dS
lim 线电荷 xr
Q dQdQ dl dl
l0 l dl
高斯定理(gauss theorem)和电场散度
• 设封闭曲面S内有一点电荷Q，其产生的电场E通过S的通 量为：以点电荷Q的位置为坐标原点
变化，三个球均带电总电量Q，求球内外场强。
v
v
解答：根据对称性，球ABC产生的场强沿径向 E dS EdS
dS r 2 sin d d dV r 2 sin drd d
A: Q 4 R2 B: Q 4 R3 / 3 C: ？
r>a
v
Ò E S
v dS
Q
0
v
Ò E S
v dS
Q
0
v
Ò E S
2） 用电场强度、磁场强度描述电磁场状态
麦克斯韦方程组积分、微分形式
vv
Ò D dS q0
S
v
i
C
vv E dl
S
B t
v dS
vv
Ò B dS 0
S
v
vv
D v
i
C
H dl
I0
S
t
dS
库仑定律（高斯定理） （电场通量）
法拉第电磁感应定律 （电场环路）
毕奥-萨瓦尔定律 （磁场通量）
第一章 电磁现象的普遍规律
麦克斯韦方程组、介质、 边值关系、电磁能量
本章目的： 将电磁现象的实验定律归纳推广为电磁场的普遍规 律——麦克斯韦方程组。 场是物质存在的一种形态，有其特殊的运动规律和物
质特性： 1） 一般实物通常是定域在空间的确定区域内，而电磁 场则弥漫于空间，对其内物体产生作用
)
V
dV
t
蜒 Jv
v dS
v JdV
S
V
蜒 Jv
v dS
S
V
dV t
电荷守恒定律积分形式
v J
0
t
电荷连续性 方程；电荷 守恒定律、 微分形式
若全空间电荷守恒，则S为无穷远界面，其上无电流流出流入：
vv J dS 0
蜒 Jv
v dS
d dt
dV
0
以上对任意变化电流均成立。 若是稳恒电流，则要求电流场不随时间变化，进一步要求电荷 分布不随时间变化，即
v
L1
v I1dl1
r123 v
r r12
v
2dl2
v (dl1 r123
r r12
)
v
v F12 F21dF12 ? dF21 v
v
dF12 dF21
电流元间的作用力
dF12 dF21
I1dl1
I2dl2
dF21 dF12
不满足 牛顿第三定律
I1dl1
vr I1dl1 r12
r123v I1dl1
r r12
L1
r123
r12：从源点（电流源所在位置）指向场点
Ñ 稳恒电流I1在B1中的受力：
v dF12
v I2dl2
r B1 (
xv)
=
v I2dl2
0 4
L1
v I1dl1
r123
rr12
蜒 蜒 v
F12
L2
v I2dl2
0 4
Ev(xv)=
q(xv xv)
40r 3
xv xv rv
q
xv
0
rv P(x,y,z) xv
2) 多个点电荷的E：
Ev(xv)=
i
qi (xv xvi )
4 0 ri 3
3) 电荷连续分布带电体V ’的E：
Ñ Ev(xv)= V
(xv xv) 40r 3 dV
电荷密度分布
lim 体电荷 xr
J
S
若电流由一种运动带电粒子构成
v
J
vv
v J
i vvi
i
3) 电荷守恒定律——最基本的实验规律：不论发生任何变化过 程（化学反应、原子核反应、微观粒子反应等），一个系统 的电荷严格保持不变。
I dq dt
q 蜒 dV
V
vv
I J dS
S
蜒 Jv
v dS
S
d dt
V
dV
蜒V t
( dV
v dS
Q
0
r<a
Ò v v 1
E dS
dV
S ( r a )
0 V (ra)
第二节 电流和磁场
电荷守恒定律
1) 电流（强度）I：单位时间内通过任意 曲面的电量
I dq dt
2) 电流密度J：大小为单位时间垂直通过单位面积的电量；
方向为沿导体内一点电荷流动的方向。
vv
vv
n
dI J dS I J dS
dF21
I2dl2
磁场的环量和旋度
安培环路定理：环路环绕方向的右手法则决定I >0、I <0
vv
vv
i B dl 0 Ii 0 J dS
Cv
v Lin
S
B 0J
磁场的通量和散度
磁感应线是闭合曲线，无源性
vv
v
Ñ B dS 0 B 0
S
真空静磁场的基 本规律——麦克 斯韦方程组静磁 场部分。毕奥-萨 瓦尔定律、旋度 微分形式仅在稳 恒电流下成立， 无源性任意情况 下成立。
矢量场定理2：若矢量场f的旋度处处为0，则f称为无旋场或纵场，此时存在标
量场，使得:
v
f
v
E
真空静电场的基本规律——麦克斯韦方程组静电场部分
v
Ò E S v
v dS v
1
0
V
dV
v
E v
0 / 0
E 0
i E dl 0
C
例题：三个半径均为a的带电球，其中球A是导电的，球B均匀
分布电荷，球C电荷密度球对称分布，并在径向上按rn(n>-3)
恒定场到变化场
变化的电场激发磁场 变化的磁场激发电场
位移电流 电磁感应定律
电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势，大小与通过该线
圈内部的磁通量变化率成正比，方向与线圈围绕方向相反。
d v v 感应电动势是由磁场本身变化引起的，与导体的
B dS 种类、性质无关，即使不存在导体回路，变化的
dt v
vS
b) 无极分子：如氦(He)、氢(H2)、甲烷(CH4)等，分子内正、负 电荷中心是重合的，故分子电矩为0。
在外场作用下，无极分子的正、负电荷分别受到相反方向的电场 力作用而被拉开，导致正、负电荷中心发生相对位移；有极分子 的取向呈现一定的规则性。其极化的微观过程虽不同，但有同样 的宏观效果，即介质极化后，都使得其中所有分子电矩的矢量和 不为0，同时在介质上都要出现束缚电荷。
v J 0
与电荷守恒定律自洽 上面是否能推广到非稳恒电流？
v J
0
t
需作修改后再推广
vv