§2.3 幂函数1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.（预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处）复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数.复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．任务二、新课导学探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.新知1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.试一试：判断下列函数哪些是幂函数.① 1y x=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =.探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．说明：② 除函数12y x =外，其余四个幂函数具有奇偶性②在第一象限内，函数1y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质（1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1)（2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数（3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数从图象分析出幂函数所具有的性质.观察图象，总结填写下表：常见幂函数的性质例1、已知幂函数2121(22)23m y m m x n -=+-+-，求,m n 的值例2、已知函数221()(2),m m f x m m x m +-=+⋅为何值时，()f x 是： （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数例3． 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）32y x =；（2）13y x =；（3）23y x =；（4）2y x -=；（5）3y x -=；（6）12y x -=．2、幂函数的定义域和值域所有幂函数y x α=的定义域和值域的求法分为五种情况 （1）0α=时，0y x =的定义域为{}0x x ≠，值域为{}1（2）α为正整数时，y x α=的定义域为R ，α为偶数时，值域为[0,)+∞,α为奇数时，值域为R （3）α为负整数时，y x α=的定义域为{}0x x ≠，α为偶数时，值域为(0,)+∞，α为奇数时，值域为{}0y y ≠（4）当α为正分数nm时，化为m n y x =,m n 的奇偶性求解 （5）当α为负分数nm -时，化为m n y x=,m n 的的奇偶性求解例4、（1）函数23y x =的定义域是 ，值域是 ；（2）函数23y x -=的定义域是 ，值域是 ；练1（1）函数32y x =的定义域是 ，值域是 ；（2）函数32y x -=的定义域是 ，值域是 ；练2、幂函数①2y x -=，②45y x =，③54y x =，④23y x =，⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．④⑤例5．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33、 幂函数的单调性和奇偶性（1）幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α=是减函数 （2）幂函数的奇偶性：令qpα=（其中p 、q 互质，p 、q N +∈） 当q 为奇数，则p qy x =的奇偶性取决于p 是奇数还是偶数.当p 是奇数时，则p qy x =是奇函数；当p 是偶数时，则p qy x =是偶函数当q 为偶数，则p 必是奇数，此时p qy x =既不是奇函数，也不是偶函数例6、若当(0,)x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x--=--⋅为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．12m ±≠例7、已知函数223()()m m m Z f x x -++∈=为偶函数，且(3)(5)f f < （1） 求m 的值，并确定()f x 的解析式（2） 若()log (())(0,1)a g x f x ax a a =->≠在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围例8、已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上市减函数（1）求函数()f x 的解析式（2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性练3、下列说法正确的是（ ）A ．12y x =是奇函数 B ．3y x =是奇函数C ．2y x -=是非奇非偶函数 D ．13y x =是非奇非偶函数构造幂函数比较两个幂值得大小比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较 例9、比较下列各组数大小：（1） 1.5(1)a + 1.5(0)a a > （2）223(2)a -+ 232-（3）121.1-120.9-练4、比较下列各组数大小：（1）3(2)-- 3( 2.5)-- （2）78(8)-- 781()9-（3）25(4.1)，23(3.8)-，35( 1.9)-练5、若01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．1(1)(1)bba a ->- B ．(1)(1)a ba b +>+ C ．2(1)(1)b ba a ->- D ．(1)(1)a ba b ->-任务三、课后作业 第一题、选择题1．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．2 ．若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0B ．α<0C ．α=0D ．不能确定3．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 4．使(3－2x －x 2)－34有意义的x 的取值范围是( )A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞1解析：选C.(3－2x －x 2)－34＝14(3－2x －x 2)3，∴要使上式有意义，需3－2x －x 2＞0， 解得－3＜x ＜1.解析：选A.m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3＜0，经检验得m ＝2.5. 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）.C ．b <l<aD ．1<b <a6．函数43y x =的图象是（ ）.A. B. C. D. 7．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减． 8．给出四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.显然①错误；②中如y ＝x －12的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.第二题、填空题9. 已知幂函数()y f x =的图象过点2)，则它的解析式为 . 10．比较下列两组数的大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--. 11．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜0第三题、解答题12．求函数y ＝(x －1)－23的单调区间．解：y ＝(x －1)－23＝1(x －1)23＝13(x －1)2，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －23，t ≠0为偶函数．因为α＝－23＜0，所以y ＝t －23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x －1单调递增，故y ＝(x －1)－23在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．13．已知(m ＋4)－12＜(3－2m )－12，求m 的取值范围．解：∵y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4＞03－2m ＞0m ＋4＞3－2m ，∴m 的取值范围是(－13，32)．14．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0. 当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数， 又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴y ＝x －3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )－4＝1(－x )4＝1x 4＝x －4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4＜0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数， 又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．任务四、巩固训练 第一题、选择题1．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2 解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12， 即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.2．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x ，x ≠0；D.y ＝x －34＝14x3，x ＞0.3．函数3x y =和31x y =图象满足 （ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 4．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-()2()2()1A ．T 1<T 2<T 3B ．T 3<T 1<T 2C ．T 2<T 3<T 1D ．T 2<T 1<T 36.幂函数213112xy,x y ,x y ,x y --====在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）A. 2134,,,C C C CB. 2314C ,C ,C ,CC. 4123C ,C ,C ,CD. 3241C ,C ,C ,C7. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A. 13y x = B. 2y x = C. 3y x = D. 2y x -=答案：Ｂ8．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1.解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．9.当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 （ A ） A 、a ＜1B 、0＜a ＜1C 、a ＞0D 、a ＜010．若点(),A a b 在幂函数()ny x n Q =∈的图象上，则下列结论中不能成立的是 ( B )A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩第二题、填空题11．函数12()(1)(1)f x x x =-+-的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝____－1,2____.13．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 5 .14．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <115．已知函数f(x)＝x α (0＜α＜1),对于下列命题：① 若x ＞1,则f(x)＞1； ② 若0＜x ＜1,则0＜f(x)＜1;③ 若f(x 1)＞f(x 2),则x 1＞x 2； ④ 若0＜x 1＜x 2,则2211)()(x x f x x f <. 其中正确的命题序号是 _① ② ③ _______.第三题、解答题16．已知幂函数f （x ）＝13222p p x -++（p ∈Z ）在(0,)+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）17．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3. 18．已知幂函数2223(1)m m y m m x--=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？解： 由于2223(1)m m y m m x --=--为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为y ＝x －3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在 x ∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数。