平面向量与三角形四心问题
问题探究：
已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).
(1)若存在常数λ,满足()(0)AB
AC
MG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______.
(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的
_______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的
________.
一．基础梳理
（一）重心：中线的交点 重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：=++G ⇔是ABC ∆的重心O ⇔是平面内任意一点，且
1()3
OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x
（4）重心面积公式：G 是ABC ∆的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ∆∆∆∆=
==⇔3
1 ⇔重心到3条边的距离与3条边的边长成反比
（二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 垂心的向量表示：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.
（三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），
（1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a = ，且0aIA bIB cIC ++=，⇔I 是
ABC △的内心
（3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点， c b a c b a OI ++++=
，⇔I 是 ABC △的内心
（4）内心坐标公式：内心I ),(c
b a cy by ay
c b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）
（1）外心到三角形各顶点的距离相等；
（2）外心的向量式：222OA OB OC ==⇔O 是ABC △的外心．
⇔().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+=
※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在
斜边的中点.
二、典例分析
例1、 证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.
（2）已知G 是ABC △的重心，证明：0GA GB GC ++=
（3）已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，证明：G 是
ABC △ 的重心
变式1、O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
变式2、已知是所在平面上的一定点，若动点满足
，
，则点的轨迹一定通过的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心
例2、 P 是ABC △所在平面上一点，若
⋅=⋅=⋅，证明：P 是ABC △
的垂心．
变式3、 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的__________.
例3、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．
若0aIA bIB cIC ++=，证明：I 是ABC △的内心．
变式4、O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
例4、 已知O 是平面上的一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，试说明动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心.
三、巩固练习
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ 满足：
λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )
A ．21
B ．0
C ．1
D ．2
1- 3．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
4．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2
22+=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，
则实数m =
6．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|
=12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2
，则ABC ∆ 为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形
8、已知P 点为ABC 内任意一点，若P 点分别满足下列，试确定点P 是ABC 的什么心. （1）(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩
为的__.， （2）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且
DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA
⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_____. （3）1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩
为的_______.， （4） 00
AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_______. 思考：在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．。