第五讲 差分方程模型
一 差分方程模型 二 差分方程解法 三 差分方程的平衡点及稳定性 四 建模案例 五 用Matlab求解差分方程问题
一 差分方程模型
对一数列{an}，把数列中的an和前面的ai(0<=i<n)关
联起来的方程叫差分方程，也叫递推关系。
例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月 后长成成兔，同时从第三个月开始每月初产雌雄各 一对一对小兔，新增小兔也按次规律繁殖。设第n月 末共有Fn对兔子，试建立关于Fn的差分方程。
3 一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性 考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk) (7) 的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。 将（7）的右端在x*点做泰勒展开，只取一次项 ，则（7）可以近似为：
x k 1f'(x *x k ) (x * ) f(x *) （8） x*也是（8）的平衡点。线性方程（8） 的平衡 点 的 稳 定 性 讨 论 同 （ 1 ） ， 而 当 |f ’(x*)|≠1 时 （ 7 ）与（8）的平衡点的稳定性相同。从而有： 当|f ’(x*)|<1时，方程（7）的平衡点是稳定的； 当|f ’(x*)|>1时，方程（7）的平衡点是不稳定的 。
（2） 重根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-
1+…+bk=0的相异特征根x1,x2,…,xt ，重数依次为 m1,m2,…,mt, m1+m2+…+mt=k，则差分方程的通 解为
m 1
m 2
m t
a n c1jnj 1x1nc2jnj 1x2 n ... ctn jj 1xtn
j 1
2． 二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0 (4) 在平衡点x*=0的稳定性。为求（4）的通解，先写 出他的特征方程
2a1a20
记它的根为λ1，λ2，则（4）的通解可以表示为
xk c11k c2k2
，其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定，从而可知 ，当且仅当|λ1|<1, |λ2|<1时方程（4）的平衡点是 稳定的。
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三、差分方程的平衡点及稳定性
1． 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定 性
一阶线性常系数差分方程 xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1）
x b 1 a
k
的平衡点由x+ax=b解得，为
，当
时，若xkx*，则x*是稳定的。
方程（1）的平衡点的稳定性问题可以通过变
量代换转换为齐次方程
xk+1+axk=0,k=0,1,2… (2)
鱼群数据为：
(1) 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其 平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g）; (2) 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4 龄鱼产卵量为1.109╳105（个），3龄鱼为其一半 ；
(3) 卵孵化的成活率为1.22╳1011/（1.22╳1011+n ）(n为产卵总量)；
问题描述如下： 如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最 高收获量； 合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生 产能力不能受到太大破坏，承包时各年龄组鱼 群数量为122，29.7，10.1，3.29（╳109条）。 在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取 怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
的平衡点x*=0的稳定性问题。而对于方程（2）， 其解可以表示为
xk=(-a)kx0, k=1,2,… (3) 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）（从而方程（1 ））的平衡点是稳定的。
对于n维向量x(k)和n╳n常数矩阵A构成的 方程组
x(k+1)+Ax(k)=0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 λi,I=1,2,…，均有|λi|<1。
(1)． 引入变量 X=(X1,X2,X3,X4)T 为鱼群数向量； α---单位时间的自然死亡率； c----年存活率，c=1-0.8=0.2; k----单位时间4龄鱼的捕捞强度系数； β--- 孵 化 卵 成 活 率 ， β=1.22╳1011/ （ 1.22╳1011+n）； m---4龄鱼的平均产卵量，m为1.109╳105（个 ），3龄鱼为其一半。
2. 常系数线性非齐次差分方程的解法 形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=f(n)（1）(其中bi为 常 数 ， bk≠0,n>=k,f(n) ≠0) 的 差 分 方 程 ， 称 为 {an}的k阶常系数线性非齐次差分方程。 非齐次差分方程的通解等于对应的齐次差分方程 的通解加上非齐次差分方程的一个特解。
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四、建模案例--最优捕鱼策略
问题简介 生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持
续收获的前提下追求最大经济效益。 考虑4个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼的
某鱼类。该鱼类在每年后4个月产卵繁殖。因而 捕捞只能在前8个月进行。每年投入的捕捞能力 不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比 例称为捕捞强度系数。且只能捕捞3、4龄鱼，两 个捕捞强度系数比为0.42：1。即为固定努力量 捕捞。
j 1
j 1
（3） 共轭复根
若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0
有一对共x3,…,xk，则差分方程的通解为，
a n c 1n cn o c 2n s sn i c n 3 x 3 n . .c k x .k n
其中 22,arc tan
解：因为第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月 留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生 的小兔等于前月末的兔子数，所以有 Fn=Fn-1+ Fn-2 ,F1=F2=1.返回
二 差分方程解法
1． 常系数线性齐次差分方程的解法 形 如 an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0 （ 1 ） ( 其 中 bi 为 常 数，bk≠0,n>=k.)的差分方程，称为{an}的k阶常系数 线性齐次差分方程。 Xk+b1xk-1+…+bk=0为上述差分方程的特征方程，其 根称为特征根。 解分为三种情况： （1） 单根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k 个 相 异 的 特 征 根 x1,x2,…,xk ， 则 an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一个通解，其中ci为常数， 由初始条件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1可确定一个满足初 始条件的特解。