xi 2 2

i1

（H）
yi

1 EI
M
i 1

xi 2
2

Mi
M i1 6
xi 2 EI
i1 xi

yi1
（I）
将以上2式整理后与（A）、（B）两式归纳在一起，得：
Qi Qi1 M i1 k 2 yi1
M i M i1 Qi xi
3．在保证满足轴始端（一般取左端）的边界条件 的情况下，给定一组始端的参数（Q0、M0、 θ0、y0）。
4．利用递推公式逐段递推计算各个分段点的4个基本参数
5．（4如个Q果i边计、界M算参i出、数的（i 终、YQ端iz）的、M，4个直z 、参到 数计z 、能算Y满出z ）足转边轴界终条端件（，右端则）所假的
EI
d4y dx 2

mi

y
k 2
令常数项的组合： k 4 mi k 2 / EI
得到：
d4y k4y 0 dx 4
（3-2）
上式的通解为：
y C1 sin kx C2 cos kx C3shkx C4chkx （3-3）
系数（常数）C1、C2、C3、C4由边界条件决定。 对两端铰支座（一般滑动轴承相当于这种情况），
规定： 第i段包括第（i-1）分段点的集中质量，不包 括第i分段点的集中质量，而第i分段点的质量包含再i与i+1 分段点组成的第（i+1）段上，依次类推。
取第i段轴分析，i和（i+1）分段点上的Q、M、θ和y，
（当i-1轴）以分某段临点界上角除速有度切力kQ旋i-1转外时，，还根有据因“为规i-1定分”段，点再上 的集中质量产生的离心力，所以由力的平衡则有： Qi Qi1 mi1 k 2 yi1 （A） 再由力矩的平衡，则有： M i M i1 Qi xi （B）

x
（C）
另：由材料力学知有： d 2 y M (x) dx2 EI
（D）
由材料力学及数学知识有：
dy tg (x) (x)
dx
将（C）代入（D）得到：
（E）
d2y dx 2

1 EI
(M i1

Mi
M i1 xi

x)
对上式积分一次，得：
(x)

dy dx

1 EI
又对上式积分，得：
y(x)

1 EI
M i1

x2 2

M i M i1 xi

x3 6

i1

x C2
（F+）
又由边界条件：
x 0 处有：y(x) yi1
y 所以有： C2= i 1
C2代入（F+）得：
y(x)

1 EI
M i1
下面将介绍真实转子临界转速的计算。
一．力学模型的建立
1． 将质量连续分布的实际转轴，简化为一系列质量 集
中而又分散分布的计算轴，在各个集中质量之间 用
没有质量但有弹性的轴段连接起来，因而将整个 转
轴分为许多小段，如图所示：
2． 转轴中凡直径改变之处，一般均取为分段点， 如“1”、“3”点；
3． 叶轮和其他回转零件通常作为一个质量集中于 其质心的集中质量来考虑，同时取质心所在位置
由上式可知：
e 1）若质量偏心 =0（理论而言），那么在一般转速
（也即一般 ）下，转轴无挠度，y=0，即不发
生 弯曲。
2）
若 则
e =0，但
y0

k 时（即转子在临界转速下运转）
0 y0
此时可能 y
y 任意值（即发生弯曲）
在这三种情况的无穷多个值中，y 0的机会只有
一个。所以由此说明：在质量完全匀布而无质量
e 偏心时即 =0 时，转子只有以 k运转时，
转子才会发生挠曲，即弯曲，而且y值有可能很大。
3）当 e 0（即存在质量偏心时），若 k ，则y值 会很大，甚至当 k 时都会使y值很大。
4）以上2）、3）说明，转子不能在临界转速下工作， 否则转子会因弯曲过大而折断。
上在还分应段该点加“上2”上这面部，分除零了件集（中如有叶第轮Ⅱ）段的的集质中量质m量2，与例第如Ⅲ：
m 段的质量
3M之2 和的m一2 半2 ，m3还应m加im上p 叶轮，的质量，即
式中 mimp ——叶轮的质量
6. 除上所述，按变直径和集中载荷自然分段外，一般分 段数应该高于所求临界转速阶数的5~6倍，例如：求转轴2 阶临界转速，则至少要划分2*（5~6）段，上述的图中，
i
i1

i M i

M i1 2
yi

yi1
i1 xi
i
xi
M i 6

M i1 3
（i=1，2，3…n）
（3-6）
式中
i

xi EI
上式表明：
只要知道第i-1分段点上的4个基本参数（Qi-1、Mi-1、
θ
边界条件为：
A） y 当x=0时， 0
B
B） y 当x=l时， 0
C）
y"
当x=0时，
0
D）
y"
当x=l时，
0
最终解得：
（1）有 sin kl 0 显然，对正弦函数，当 kl i 时，
上式可满足，i为任意整数（i=1，2，3，……），
因为前面令有 k 4 mi k 2 / EI ，现又得
那么始端O分段点上的4个基本参数知道不知道呢？
实际情况是：有的知道，有的不知道。
( (1) 边界条件： 由材料力学知，对一根两端绞支的梁，应有：
YO 0
MO 0
（2） 分析：

而
O

?
QO ?
且不为0
从递推公式可看出，前后两截面4个基本参数
Q、M、 、Y之间的关系是线性的（在已经假定k
到 kl i ，所以有：
k i 2
EI ml 3
（3-5）
式中：m ——为整个轴得质量， m mil
由上式可知：
（A）一个转子的临界转速不是一个，而是无限多个。 （B）第一阶振动时的临界转速称为第一临界转速，
nk1 ；第二阶振动时的临界转速称为第二临界 转速，nk 2 ；余依次类推。
可在每一段中人为再增加段数。
二．计算公式——递推公式
1 1．基本参数 由材料力学可知，弯曲梁上任一截面的变形情
况可由 4个基本参数来反映，即 切力——Q 弯矩——M 转角——θ 挠度——y
2． 计算公式
将实际轴简化为计算轴后，如下图所示：
以左边为起点，转轴的第一个分段点为0点，依次各 个分段点分别为1，2，3，……i-1，i，……j，分段点0 于1之间称为第1段，1与2之间称为第2段，…..（i-1）与I 点之间称为第i段，依次类推。
又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”，在 当前讨论的第i段轴上，除了在i-1分段点有集中质量外， 其他部分是无关质量，只有弹性的轴，所以这一段内的切 力为常数，即Qi，因此在这段轴上i与i-1分段点的距离为x 的地方的弯矩就为：
M (x)

M i1

Qi

x

M i1

Mi
M i1 xi
之后），从数学知识可知，如果我们一开始就
将边o界条Q和件oYO
作为未知数代入递推公式（此时的
MO 0 ），逐个分段点递推，
那么很显然，任一截面（分段点）i上的4个基
本的参 线Y数 性i 函数i，、即Mi有、：Q和i
都只是 o 和Qo
Yi Aio BiQo i Cio DiQo （i=1，2，3……n） M i Eio FiQo Qi Gio HiQo
5）式（3-1）也说明，质量偏心e的大小并不影响临界转 速的数值，它们是互相独立的二个参数。也就是说存 不存在临界转速以及它的大小如何，与存不存在质量
偏心 e 无关。 e 但是，偏心 严重影响振幅y的大小。它说明加工和平衡
e 都不好的转子，由于其偏心 过大，即使其工作转速远
离临界转速，由于振幅y大，转子也会发生强烈的振动。 反之，若加工和平衡都做得很好的转子，只要保证工作转 速不等于临界转速，即使工作转速很接近临界转速，转子 也能良好运转。
作为分段点，如“2”点；
4. 每段轴的质量均分为二半，分别集中到该段轴 的两端的截面上（即分段点处）。这样，各段之
间的分段点上则分别集中有相临两段轴的质量和
的与一第Ⅱ半。 段如 的分 质段 量点m“2 1之”点和上的集一中半有；第即Ⅰ段的质量m1
M1

m1
2
m2
5. 如分段点之上还有其他回转零件（如叶轮）则分段点
方
d2y
2
程为： EI M dx2
3
（A）
（2）目前状态m下i ，轴单位长度所受的载荷就是轴单位
q m y 长
2
度的质量 所i产生的离心k力：
（3）又由材料力学知：沿轴长度弯矩的二次导数（，B）等
于轴单位长度所受的载荷，即：
d2M q dx2
（C）
（4） 由（A）（B）（C）得：
6） 行业规定，为安全起见，应该有：
n0.75nk ——此状态下的轴称为刚轴
n1.3nk ——此状态下的轴称为柔轴。
第二节 等直径轴的临界转速
讨论： 无圆盘、等直径光轴的临界转速以及 轴弯曲振动的形式