江苏省宿迁市宿豫中学2020-2021学年高二（奥赛班）下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D2．如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知复数z 满足34zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．曲线x y e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22e C ．2eD ．22e5．若02x π<<， 则下列不等式成立的是（ ）A ．2sin x x π< B ．2sin x x π> C ．3sin x x π< D ．3sin x x π>6．若复数11iz i+=-,z 为z 的共轭复数,则2019()z ＝（ ） A ．iB ．－iC ．20192i -D ．20192i7．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''，D ．()0()0f x g x ''<<，10．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞11．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2B ．52C ．3D ．3212．设函数2()(1)x f x mx e x =--,若不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数m 的取值范围（ ） A ．2211(,1)2e e++ B ．2211[,1)2e e++ C ．323121[,)32e e ++D ．323121(,)22e e ++二、填空题13． 已知函数y ＝()f x 的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是122y x =＋，则()()1'1f f ＋＝________.14．已知函数2()3x f x e x =+,当x ∆趋向于零时，则分式()()f x f x x-∆-∆∆趋向于___________.15．已知复数1z ，2z 满足12121z z z z ==+=，则12z z -=__________． 16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = ．三、解答题 17．已知函数1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, （1）计算函数()f x 的导数()f x '的表达式;（2）求函数()f x 的值域. 18．设z 是虚数,11z z z=+是实数,且112z -<<. （1）求||z 的值及z 的实部的取值范围;（2）设11zu z-=+,求证u 为纯虚数. 19．已知函数()3215132f x x x a x =-+-．（Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值． 20．已知函数()ln ,af x x a R x=-∈ （1）讨论函数()f x 在定义域上单调性; （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32,求a 的值. 21．已知函数322()33(1)f x x ax a x =++-（1）若()f x 在1x =处取得极小值,求a 的值;（2）设12,x x 是22()()635(0)g x f x ax a x a a =--+>的两个极值点,若12()()0g x g x +≤,求实数a 的取值范围.22．已知函数32()(16),()ln ,f x x x a x g x a x a R =---=∈,函数()()()f x h x g x x =-的导函数()h x '在5[,4]2上存在零点. （1）求实数a 的取值范围;（2）若存在实数a ,当,][0x b ∈时,函数()f x 在0x =时取得最大值,求正实数b 的最大值.参考答案1．C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 3．D 【解析】由34zi i =+，得：()()2343443i i i z i i i +-+===--，在复平面内对应的点的坐标为()4,3-，位于第四象限，故选D.4．D 【分析】 求出曲线在()22,e 处的切线方程，求出切线的横截距和纵截距后可得所求的面积.【详解】e x y '=，故切线的斜率为2k e =，故切线方程为：()222y e e x -=-， 化简得到22y e x e =-.令0x =，则2y e =-；令0y =，则1x =.故切线与坐标轴所围三角形的面积为221122e e ⨯⨯=.故选：D . 【点睛】本题考查导数的几何意义及直线方程的应用，对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标，本题属于基础题. 5．B 【解析】 令()sin 02x f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则()2i 'cos s n x x x f x x-=， 令()cos sin g x x x x =-，则()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x =--=-<， 故()g x 单调递减，()()()max 00g x g x g ⎡⎤≤==⎣⎦， 据此可得()'0f x ≤，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故当02x π<<时，()2f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即sinsin 22x x ππ>，即2sin x x π>.本题选择B 选项. 6．A 【分析】利用复数的运算法则求出z ,结合周期性即可得出结果.【详解】解: ()2111(1)(1)i iz i i i i ++===--+, z i ∴=-,5042019201943()()()()z i i i i ⎡⎤=-=--=⎣⎦故选:A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位i 的性质,是基础题. 7．A 【解析】试题分析：2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在内单调递增，则，即在(0)+∞，上恒成立，令,由于，则，，则，则，设的最大值为N ，则必有，则的取值范围是，所以p 是q 的必要不充分条件．考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含关系； 8．A 【解析】 因为,又因为曲线C 在点P 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则切线的斜率，所以,解得，故选A.9．B 【解析】由条件知：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数；()g x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数；所以()f x 在(,0)-∞内是增函数；()g x 在(,0)-∞内是减函数；所以0x <时，()0,()0.f x g x ''><故选B10．A 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 11．A 【解析】()2200{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b b +∴=+≥+≥=+='当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为12．C 【分析】令()0f x <,化简得21x x mx e-<,构造函数2()1,()x x g x mx h x e =-=,画出两个函数图像,结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组,解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】解: 2()01x mx e x -<-有两个正整数解,即21x x mx e-<有两个不同的正整数解,令2()1,()x x g x mx h x e =-=,22(2)()x xx x x x h x e e'--==, 故函数()h x 在区间,0和2,上递减,在()0,2上递增,画出(),()g x h x 图像如下图所示:要使21x x mx e-<恰有两个不同的正整数解等价于23421(2)(2)(3)(3)931m g h e g h m e ⎧⎧-<⎪⎪<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎪-≥⎪⎪⎩⎩解得32312132m e e +≤<+, 故323121,32m e e ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭. 故选:C【点睛】本题主要考查不等式解集问题,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题. 13．3 【解析】由题意知()()115'112222f f ＝，＝＋＝，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：3. 14．10- 【分析】根据瞬时变化率求解即可. 【详解】 解: 2()3xf x ex =+,2()23x f x e '=+,()222233()()622xx x x ex e x f x f x e e x xxx-∆∆-∆∆-∆-+∆-∆-∆--∆==-⨯∆∆-∆,所以0()()lim2(0)10x f x f x f x∆→-∆-∆'=-=-∆,当x ∆趋向于零时, 分式()()f x f x x-∆-∆∆趋向于10-.故答案为: 10- 【点睛】本题考查导数的瞬时变化率,是基础题. 15【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得a b 、 及、c d 间的关系，根据方程，得221ab cd +=-；表示出12z z -=．详解：设12,z a bi z c di =+=+ 因为12121z z z z ==+=所以111===即()()222222111a b c d a b c d +=+=+++=化简得221ab cd +=-()()12z z a bi c di -=+-+==点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．16．4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时()0f x x ⇒'==① 11a ⇒≥时()f x 在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减．所以min ()min (1),f x f f ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{410f a a f -=-+≥≥⇒⇒==-≥ ②11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.17．（1）()cos xf x e x '=;（2）211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可;（2）根据02x π≤≤,可得()0f x '>,函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.【详解】解: （1）因为1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, 所以11()(cos sin )(sin cos )cos 22x x x f x e x x e x x e x '=++-+=. 故函数()f x 的导数()cos x f x e x '=;（2）02x π≤≤, ()cos 0x f x e x '∴=≥,函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数, 所以m n 0i ()(0)11(cos0sin 0)22e f x f +===, 所以22max 11(cos sin ()()222)22f x e f e πππππ+===; 故函数()f x 的值域为211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.18．（1）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭;（2）证明见解析. 【分析】（1）设出复数z 写出1z 的表示式,进行复数的运算,把1z 整理成最简形式根据所给的1z 的范围,得到1z 的虚部为0,实部属于这个范围,得到z 的实部的范围.（2）根据设出的z ,整理的代数形式,进行复数的除法的运算,整理成最简形式根据上一问做出的复数的模长是1,得到u 是一个纯虚数【详解】解：（1）由z 是虚数,设i(,0)z a b a b b =+∈≠R, 则111z z a bi z a bi=+=+++ 222222a bi a b a bi a b i a b a b a b -⎛⎫=++=++- ⎪+++⎝⎭, 22:0b R b a b ω∈-=+且0b ≠, 221a b ∴+=即||1z =,此时,12z a =,1112,12z a -<<∴-<<. 即z 的实部的取值范围为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）设11()11()z a b i u z a bi --+==+++ 22[(1)][(1)])(1)a bi a bi a b --+-=++, 221,1b a b u i a+=∴=-+ 又10,12b a ≠-<<, 故u 是纯虚数.【点睛】本题考查复数的概念,复数代数形式的运算法则,是基础题.19．（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间； （2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--，令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3.(2)当0a <时，若0x <，则()3215132f x x x ax =---， 所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x >若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想． 20．①当0a ≥时, ()f x 在()0,∞+上单调递增;②当0a <时, ()f x 在()0,a -上单调递减;在(),a -+∞上单调递增.（2）a =【分析】（1）确定函数的定义域根据()0f x '>,可得()f x 在定义域上的单调性;（2）求导函数,分类讨论,确定函数()f x 在[1,]e 上的单调性利用()f x 在[1,]e 上的最小值为即可求a 的值.【详解】解：（1）函数的定义域为()0,∞+, 且2()x a f x x'+=, ①当0a ≥时, ()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递增;②当0a <时,令()0f x '=,得x a =-()f x ∴在()0,a -上单调递减;在(),a -+∞上单调递增.（2）由（1）知,2()x a f x x '+=, ①若1a ≥-,则0x a +≥,即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上为增函数,()f x 在[1,]e 上的最小值为32, min 3()(1)2f x f a ∴==-=, 32a ∴=-（舍去） ②若a e ≤-,则0x a +≤,即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上为减函数,min 3()()12a f x f e e ∴==-=,2e a ∴=-（舍去）. ③若1e a -<<-,令()0f x '=,得x a =-.当1x a <<-时,()0f x '<,()f x ∴在()1,a -上为减函数;当a x e -<<时,()0f x '>,()f x ∴在(),a e -上为增函数,min 3()()ln()12f x f a a ∴=-=-+=,a ∴=综上可知：a =【点睛】 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.21．（1）0a =;（2）a 的最小值1.【分析】（1）求导函数()f x ,再由()01f '=,得a 的两个值,通过极小值,确认a 的值;（2）整理()g x 并求导,得到关于含参a 的一元二次方程,韦达定理可得12,x x 关系,再由12()()0g x g x +≤,整理得关12,x x 关系式,将韦达定理代入解得a 的最小值.【详解】解:（1）322()33(1)f x x ax a x =++-,()22()3631f x x ax a '=++-∴,由题意得()01f '=,即()236310a a ++-=,解得0a =或2a =-,当0a =时,2()33f x x '=-,当1x <-或1x >时,()0f x '>;当11x -<<时,()0f x '<,所以()f x 在1x =处取得极小值,满足题意.当2a =-时,2()3129f x x x -'=+,当1x <或3x >时,()0f x '>;当13x <<时,()0f x '<,所以()f x 在1x =处取得极大值,不满足题意.综上:0a =（2）32335(()0)x ax x x g a a --+>=,所以2()363g x x ax '=--,因为236360a =+>恒成立,所以()g x 恒有两个极值点.由题意可知12,x x 是2()363g x x ax '=--的两根,所以122x x a +=,121x x ⋅=-. 由12()()0g x g x +≤,得()()332212121233100x x a x x x x a +-+-++≤. 即()()()()221212121212123323100x x x x x x a x x x x x x a ⎡⎤⎡⎤++--+--++≤⎣⎦⎣⎦将122x x a +=,121x x ⋅=-代入整理的30a a -≥.因为0a >,所以210a -≥解得1a ≥.所以a 的最小值1.【点睛】本题主要考查导数研究函数极值的知识点,主要运用求导法,分类讨论法思想方法. 22．（1）[]10,28;（2）1【分析】（1）依题意求出()h x ,然后对()h x 求导,根据函数()h x '在5[,4]2上存在零点.则设2()2H x x x a =--在5[,4]2上存在零点,结合二次函数存在零点的性质列不等式,求解即可;（2）根据函数()f x 在0x =时取得最大值,可解得16a =,判断原函数的单调性,根据单调性列不等式求解即可.【详解】解: （1）已知32()(16),()ln ,f x x x a x g x a x a R =---=∈, 所以()()()f x h x g x x=- 32(16)ln x x a x a x x---=- 2(16)ln x x a a x =----定义域为: ()0,∞+22()21a x x a h x x x x--'∴=--= 因为函数()h x '在5[,4]2上存在零点. 则设2()2H x x x a =--,()H x 在5[,4]2上存在零点 , 则()2180a =-+≥,整理得18a ≥-, 则()50240H H ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩, 即或225520222440a a ⎧⎛⎫⨯--≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⨯--≥⎩解得1028a ≤≤,结合18a ≥-,即可得出a 的取值范围为:[]10,28（2）32()(16)f x x x a x =---, 2()32(16)f x x x a '=---, 则2(0)32(16)0f x x a '=---=,①当412(16)0a ∆=--+≤,即47103a ≤≤时, ()0f x '≥恒成立,所以()f x 在[0,]b 上单调递增,不符合题意. ②当47163a <<时,令2()32(16)0f x x x a '=---=,解得: 13x ±==,当x ⎛∈ ⎝⎭时, ()0f x '>,()f x 单调递增, 所以不存在0b >,使得()f x 在[0,]b 上取得最大值()0f .③当1628a ≤≤,即2()32(16)0f x x x a '=---=,解得: 12110,033x x +=<=> 当且仅当()20,x x ∈时()0f x '<,当()2,x x ∈+∞时()0f x '>,所以()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增. 若20b x <≤,则()f x 在[0,]b 上单调递减,所以max ()(0)f x f =, 若2b x >,则()f x 在()20,x 上单调递减,在()2,x b 上单调递增.由题意可知,()(0)f b f ≤,即32(16)0b b a b ---≤.整理得216b b a -≤-,因为存在[]16,28a ∈,符合上式, 所以212b b -≤,解得.04b <≤综上,b 最大值为4. 故正实数b 的最大值为4.【点睛】本题考查导数与零点问题,考查导数的单调性问题,是中档题.。