高等代数知识点第一章 多项式1． 数域的定义、常见数域2． （系数在）数域P 上的多项式的定义3． 多项式相等4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理6． 整除的定义：()()g x f x ⇔()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式7． 整除的性质：（1）一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2）整除的反身性 （3）整除的传递性 （4） 整除的组合性8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法9． 整除的判定法则：余式为零10． 整除不受数域的影响11．公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12．最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：814． 互素的定义15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14（1）()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =⇒=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =⇒（3） ()()()()()()()()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =⇒ 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1）17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式18． 可约性与数域有关19．不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约（2） ()p x 不可约，()[],f x P x ∀∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ⇒=（3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x orp x g x ⇒ 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =21．K 重因式的定义、微商的定义 22． 重因式的相关定理：()p x 是不可约多项式（1） 若()p x 是()f x 的K 重因式，则()p x 是()f x '的K －1重因式（2） ()p x 是()f x 的重因式()|(),()|()p x f x p x f x '⇔（()(),()1f x f x '⇔≠）（3） ()f x 没有重因式()(),()1f x f x '⇔=（4） ()p x 是()f x 的K 重因式()()(),()p x f x f x '⇔为的K －1重因式（5）()1212(),()()()()s r r r s f x f x cp x p x p x '=()()1i i p x f x r ⇔+为的重因式 23．多项式函数的定义 24．余数定理()()()()f x x c q x r r f c =-+⇒= 25． 因式定理()()()0x c f x f c -⇔=P45:19 26． 重根与重因式的关系：()()()c f x k x c f x k ⇔-是的重根是的重因式，但是有重因式未必有重根27． 求重因式P45：1628．根的个数定理：(())f x n n ∂=⇒根的个数至多为个 29． 函数相等的判断定理：(()),(()),()(),1,,1()()i i f x g x n f a g a i n f x g x ∂∂≤==+⇒=30． 多项式相等与函数相等的一致性31． 代数基本定理：复数域上的多项式必有一根，必有一个一次因式，复系数多项式的不可约多项式只有一次多项式32． 复系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次因式的乘积33． n 次复系数多项式有n 个复根，重根按重数计算34． 实系数多项式的复根定理35． 实系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次和二次不可约因式的乘积36． 有理数域上存在任意次不可约多项式37． 复系数实系数多项式的标准分解式、4次的因式分解38． 本原多项式的定义、性质：（1） 任给一个有理系数多项式总可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．（2） Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是本原多项式39． 整系数多项式的因式分解定理：若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积40． 求有理系数多项式的有理根的方法（结合综合除法验证） P46：2741． 艾森斯坦(Eisenstein)判别法P46：28第二章 行列式1． 二级、三级行列式的计算（对角线法则）2． 排列、逆序、逆序数、排列的奇偶性、对换的定义3． 逆序数的求法——Ｐ96：5、对换改变奇偶性4． n 级行列式的定义及计算P97:85． 特殊行列式的计算6． 行列式的性质（转置、换行（冒泡）、数乘、和、线性运算）7． 余子式、代数余子式的定义及相关计算（111213A A A ++=）8． 行列式按行（列）展开法则（=D ，=0）9． 行列式的计算（降阶）（四阶、P98：13（1）（3）（4））10． 行列式的证明（n 级字母型：按行列展开、以第一行为标准加减、各列加到第一列、相邻行相加减、加一行一列）P99：17（1）（2）（3）、18（1）（5）11． 范德蒙德行列式及应用（转置换行）12． 克拉默法则及解的判定定理（非齐次方程组有唯一解D ≠0，齐次方程组有非零解D ＝0）第三章 线性方程组1． 线性方程组、解、同解的概念2． 线性方程组的初等变换3． 矩阵的定义、初等变换及应用，行阶梯形、行最简形矩阵4． 解线性方程组5． 向量的定义、表示（行向量与列向量）、相等6． 特殊向量（零向量、负向量）7． 向量的运算（加法和数乘）及运算性质8． 向量空间的定义9． 线性组合的定义：对应的非齐次线性方程组有解、向量组线性表出P154:1210． 向量组等价的定义、等价的性质（反身性、对称性、传递性）11． 线性相关定义：有一个向量可以由其余向量线性表出12． 线性相关等价定义：存在不全为零的K 使得等式成立——对应的齐次线性方程组有非零解13． 线性无关：对应的齐次线性方程组只有零解（证明）（P155:6）14． 线性相关（无关）的判定（用矩阵的秩来判定）15． 线性相关（无关）的性质：（1） 单个向量、两个向量的相关性（2） 单位向量组线性无关（3） 含有零向量的向量组必线性相关（4） 整体与部分的相关性（整体无关则部分无关，部分相关则整体相关）（5） 线性无关的向量组扩维后还是线性无关的（6） 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是两个向量组。

如果 1）向量组12,,,r ααα可以经过12,,,s βββ线性表出；2）r s >，那么向量组12,,,r ααα必线性相关。

（7） 任意n+1个n 维向量必线性相关.（特例）（8） 如果向量组12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,r ααα线性无关，那么r s ≤（逆否）（9） 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. （逆否+向量组等价）16． 极大线性无关组的定义：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关。

（不唯一）17． 极大线性无关组的性质：（1） 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价（2） 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（3） 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量18． 向量组的秩的定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩19． 向量组的秩与其线性无关性之间的关系（1） 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同（2） 等价的向量组必有相同的秩20． 向量组的极大无关组及其秩的求法P155：1121． 矩阵秩的定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵A 的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,记作R(A).22． 矩阵的秩与行列式之间的关系：||0(),||0()A R A n A R A n =⇔<≠⇔=23． 矩阵的子式的定义24． 矩阵的秩与其子式之间的关系：R(A)=r 充要条件是矩阵A 中有一个r 级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零25． 矩阵的秩的计算26． 极大线性无关组的求法27． 非齐次线性方程组有解的充分必要条件：系数矩阵与增广矩阵有相同的秩28． 非齐次线性方程组解的判定（三种）（参数型讨论；求解）P157：1929． 齐次线性方程组解的判定（两种）（特例方程个数少于未知量个数）30． 齐次线性方程组解的性质：和、数乘、线性组合31． 齐次线性方程组的基础解系的定义：解向量组、极大无关组（不唯一），基础解系所含解向量的个数等于n-r32． 齐次线性方程组解的结构及求法（特例简单方程）P157:2033． 非齐次线性方程组解的性质：差、和34． 非齐次线性方程组解的结构及求法35．36．37．。