（1）写出图中所有的垂直关系
E O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，
OE⊥BC，OF⊥AB。
在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4, ∴AB＝5
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
D
F
O·
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
CE
B
由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD
设AD= x , BE= y ,CE＝ r x＋r＝4
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
1 12 2
AB·OD＋
l·r
1 2
BC·OE＋
1 2
AC·OF
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋b＋c
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 .
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、 A
三角形的内切圆的有关计算
如图，△ABC的内切圆的半径为r,
A
△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
D
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
F
· 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， O
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥ABC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
C E
＝ ＝
在经过圆外
A
一点的切线
上，这一点
和切点之间 的线段的长
O·
P
叫做这点到
圆的切线长
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引
两条切线PA，PB，切
B
点分别是A、B，连结
OA、OB、OP，你能
发现什么结论？并证明
。
P
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
B，AB交OP于点M. 你又能得出什么新的
。
OM
P
结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶A、PB是⊙O的两条切 线，A、B为切点，直线OP
A
交于⊙O于点D、E，交AB 于C。
你所发现的P结A 论= P。B
O
∠OPA=∠OPB
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
B
若连结两切点A、
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
o．
o．
．
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
则有 y＋r＝3 解得 r＝1 x＋y＝5
∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。
B
小 结：
切线长定理 从圆外 E
。
OC
D
P
一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角