z
j 1
p
j
1
，3... 限制下安排试验，其中 a j 是分量 z j ( j 1 2， p) 的下界，即该分量实际能取的最小值，并且下 p 界 a j 必须满足: •有下界约束的混料
a j 1
j 1
问题具有实际意义 的充分必要条件。
z1 z 2 z3
x1 x 2 x3
j a j z j b j 1 极端顶点设计
正交（比率设计） 混料D最优 混料旋转设计
(4)追求优良设计 (5)随机混料设计
§12-3 单形格子设计
一、单形：顶点数与坐标空间维数相等的凸图形 正三角形，正四面体形，p 维单形即（p-1）维单纯形。 二、单形坐标系 假设 (1)设 P(X1，X2，X3) 为单形内的任意点，单形内任意点 P 到各边的距离分别为 (X1，X2，X3)， X1表示 P 点到边 BC 的距离， X2 为点 P 到边 AC 的距离，X3 为点 P 到 边 AB 的距离。
①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）
2、任意两点组成一条棱边，棱的中点即其 重心，成为两顶点重心 ④，⑤，⑥
3、任意三个顶点组成一个正三角形，该 三角形的中心即其重心，称为重心 ⑦
在一个p 因素的单纯形重心设计中，试验点为单纯形顶点的一些
重心点。这些点是：
（1）单纯形一个顶点的重心点，即p 个顶点（1, 0, ⋯, 0）共有 个点； （2）单纯形两个顶点的重心点（1/2, 1/2, 0, ⋯, 0）共有 个点； （3）单纯形三个顶点的重心点（1/3, 1/3, 1/3, 0, „, 0）共有 （p）单纯形p 个顶点的重心点（1/p, 1/p, ⋯, 1/p），共有 个点。
因素试验点集中在格子边缘。
§12-4 单形重心设计
1、定义：实验安排在重心的混料设计 称为单形重心混料设计，或简称单形 重心设计。
2、回归模型
一个混料试验可由因素个数 P 与回归 方程最高次项次数 d 所确定。用有序 数对（P，d）表示一个混料试验。
一、单形重心 1、单个顶点重心就是顶点本身 ①，②，③
y12 4.8
y13 3.8
y23 3.0
y123 3.7
j i 1 2 3 4 5 6 7
X1 X2 X3 y
1 0 0 1/2 1/2 0 1/3 0 0 1 0 0 1 1/2 0 0 1/2 1/2 1/2 1/3 1/3
y1 4.6
y2 4.92
y3 0.8
y12 4.8
ˆ y 4.6 x1 4.9 x2 0.8 x3 0.2 x1 x2 4.47x1 x3 0.6 x2 x3 8.4 x1 x2 x3
j i 1 2 3 4 5 6 7
X1 X2 X3 y
1 0 0 1/2 1/2 0 1/3 0 0 1 0 0 1 1/2 0 0 1/2 1/2 1/2 1/3 1/3
1 30% 3 33% 2 25%
4 10%
5 2%
国外混料设计方法评价请参考： Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.
试验
1 2 3 4 5 1 0 0 1/2 1/2 0 1 0 1/2 0 0 0 1 0 1/2
试验
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 0 2/3 1/3 2/3 1/3 0 0 1/3 0 1 0 1/3 2/3 0 0 2/3 1/3 1/3 0 0 1 0 0 1/3 2/3 1/3 2/3 1/3
z j 0, ( j 1,2,...... p) z1 z2 ....... z p 1
Z1，Z2，Z3…. Zj….Zp，表示混料中 P 种成分各占 的百分比。
§12-2 混料回归数学模型
一、混料试验设计：就是合理选择少数试验 点，安排因素不同含量配比试验，求取非线性 的回归方程。
二、混料试验分析的数学模型
混料条件决定了混料回归设计中的数学模型不同 于一般回归设计中所采用的数学模型。
Scheffe 多项式混料模型
模型中没有常数项与平方项，只有一次项与交叉项
为适应更复杂的混料试验设计，可以采用p 个 组分d 次多项式回归方程，这些方程的Scheffe 多项式（或称规范多项式）形式为：
例如：为考察铁、镍、铜和铬在不锈钢中的含量变化，对不锈钢 抗拉强度的影响而进行的试验，就是混料试验。
三、混料条件
1、在混料试验中，每个混料成分的含量都必须 表示成混料的百分比，且是无量纲的，并且试验 指标仅与各个分量的百分比有关，而且与混料的 总量无关。 2、每种成分含量的百分比为非负数，且它们的 总和应等于 1 。
c c c ... c
1 p
1 p
2 p
2 p
3 p
3 p
d p
d p
P维单形顶点数共有：
c c c ... c
试验次数和回归方程中待估计系数相等
2）坐标与d无关
所有试验的坐标与回归方程的次数 d 无关，且试验点的非零坐标相等，消 除由于非零坐标不相等，对回归系数 估计值的影响。
y1 4.6
y2 4.92
y3 0.8
y12 4.8
y13 3.8
y23 3.0
y123 3.7
利用单形格子混料设计方案{3.3}编排试验 试验点数N= 编排方案
§12-5 有下界约束的单形重心设计
一、下界约束
P 分量有下界约束的混料问题就是要在条件：
zj aj 0
混料特点
(1)组成混料的各种成分，称为混料成分或分量， 也就是混料试验中的试验因素。在混料回归设计 中，混料中的成分应至少有三种。 (2)不变组分，不算。
饮料中的水成分不算。 如不锈钢中的元素碳，但应作为混料试验的条件因素。
二、混料试验 对混料性能进行的研究――广义试验 通过实物试验或非实物试验，考察混料的某种 特性或综合性能与各种混料成分之间的关系
P=3；d=2计算得 N=6 系数个数：b1，b2，b3，b12，b13，b23 x1 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1/2 0 1/2 x2 0 1 0 1/2 1/2 0 x3 0 0 0 0 1/2 1/2 2
1 4 6
3 5
{3,2}
变量 X1 X2 X3 变量 X1
{3,3}
X2 X3

二、因素编码
对有下界约束的 P 因素混料问题中，为了应用 回归设计的方法，求取混料回归方程，必须对Zj 进行编码。
第十二章 混料试验设计
§12-1 混料试验
一、混料
定义：指若干种不同成分的混合或合成(配比)。
以果味型饮料例： 单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958) 其中水占95% 质量g 单纯形重心设计(Scheffe, 1963) 其他添加料5%质量g 轴设计(Cornell, 1975) 整体饮料质量的5%的添加剂影响饮料口味和 方开泰、王元等混料均匀设计 质量。
①（1，0，0），②（0，1，0），③（0，0，1）
为研究能否在试验室中对燃料抗震性能使用的 一种 RM 评分法，来替代燃料的道路行驶性能 评分法。拟设计一组试验，系统地变动燃料特 性，来检验这两种评分法差异的假设是否成 立。试验指标为两种评分法之差，所研究燃料 的三个组成成分是，石蜡环烷（x1）, 二芳香烃 （x2）, 二烯烃（x3）,并且满足x1+x2+x3=1
它可以保证试验点分布均匀，而且计算简单、准确，回归系 数只是相应格子点的响应值的简单函数。
三、单形格子点概念和计算
以高为1 的等边三角形（a）三条边各二等分，则 此三角形（b）的三个顶点与三个边中点的总体称为二 阶格子点集，记为{3, 2}，3 表示正规单纯形顶点个 数，2 表示每边等分数。
单形格子M{p, d}设计共有：
不存在单一因素的多次项； 不含常数项； 含因素之间的交互项。
举例 某产品的三种原料在配方中的比例分别为x1、x2 和x3, 指标y 与x1、x2、x3 之间若建立二次型回归模型, 则模型可写为:
在混料设计中，因为
所以上面的方程可以变换为如下形式:
三、常用设计方法 基本方法：各因素仅受混料条件限制 z j 1 (1)单形混料设计：最早指出的方法 （格子设计、重心设计） (2)有下界约束条件 0 a j z j 1 （基于单型） (3)有上下界约束条件
在单纯形重心设计中，试验点的总数目是
个
二、单形重心的设计特点
1）饱和设计
对于（P，d）混料设计回归方程为
ˆ y b j x j bhj xh x j
j 1 h j p h j l
b
hj
xh x j xl ..... bp! x j
j 1
d
待估计的系数共有：
y13 3.8
y23 3.0
y123 3.7
2°回归系数的计算
bj y j bhj 4 y hj 2( y h y j ) bhjl 27bhjl 12( y hj y hl y jl ) 3( y h y j yl ) ( j , h, l 1,2..... 3, h j l )
x1 z1 1 a2 a3 .......... .a1.......... ..a1 z2 a2 .......... .... 1 a1 a3 ........ a2 x2 z3 a3 .......... ........ a3 .......... .1 a1 a2 x3 z1 x1 a1 3 经整理，上式可变为 z2 1 a j x2 a2 z3 近 1 x3 a3