n1
令
Cn

an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0

a0 2
三角形式傅立叶级数
f
(t)

a0 2


(an
n1
cos n0t
bn
sin n0t)dt
其中：a0

2 T
T
2 T
2
f (t)dt
an

2 T
T
2 T
f (t) cosn0tdt
2
(n = 1,2)
[例题3]
f (t)
2 1

f (t) 1.5
Sa ( n ) cos(nt )
n1
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
t
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t

nLeabharlann ntf2 (t) 0.5
n1
Sa (
2
) cos(
2
)
-4 -3 -2 -1
2
Cn
Cn Cn e jn
A / T
幅频特性
相频特性
2
2



0 2 / T
n 0
3．频谱的特性
•(1)离散频谱特性
周期信号的频谱是由 间隔为ω 0的谱线组成
信号周期T越大，ω 0就越小，则谱线越密。 反之，T越小，ω 0越大，谱线则越疏。
Cn
A T0
2π
2π



0
0 2π T0
0t

1 3
c
os30t

1 5
c
os50t
)
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。
f (t)

-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
1
Cn T
T 2 T
f (t)e jn0t dt 1 ( 0 te jn0t dt 2 1
Cn
3．频谱的..特. 性
(2)幅度衰减特性 30 0

2 / 9π2
2 / π2
1/ 2
0 0 2 / π2
...
30
2 / 9π2
周期三角波信号的频谱
• 当周期周矩期形信信号号的频的谱幅度频谱 随着谐波n0增大 时，
幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。
• 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就
2. 时移特性
若
则有
f (t) Cn
f (t t0 ) e jn0t0 Cn
3.卷积性质
若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且 f1(t) C1n , f2 (t) C2n
则有 f1(t) * f2 (t) T0C1n C2n 例4-4：
4. 微分特性

1 T
T 2 T
fT (t)e jn0t dt
2
x(t)

C0
+C1e j0t

C1e j0t

C e j20t 2

C e j20t 2
...
C e jN0t N

C e jN0t N
...
直流分量
基波分量
N 次谐波分量
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。

1/ 2,
n0
周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为

f (t) Cn
n =
e jn0t 1 2 m=
2
e j(2m1)0t
[(2m 1) ]2

由
f (t) C0 2 Re( Cne jn0t )
n1
周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为
t
2 / 9π2
2 / 9π2
2 / π2 0 2 / π2
周期三角波信号的时域波形
周期三角波信号的频谱
Fourier级数的收敛条件
周期信号展开为傅立叶级数条件： • 周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：
• (1) 绝对可积，即满足 T /2 f (t) dt T / 2
Cn

1 T
T 2 T
f (t)e jn0t dt
1 T
2
2 2
Ae jn0t dt
A
T
Sa( n0 )
2
因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为
f (t)

Cn e jn0t
A

Sa( n0 )e jn0t
n =
T n=
2
bn T
T
2 T
f (t)sin n0tdt
2
(n = 1,2)
例题1：试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶
级数展开式。
周期矩形信号的频谱
f (t) Cn
A
A T0
2π
2π




0
-T 0
T 0 2π T0
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。

2A π
cos0t

2A 3π
cos30t

2A 5π
cos50t

~xΔ
(t)

1 2

4 π2
cos 0t

4 9π2
cos
30t

4 25π2
cos
50t

不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通
过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
连续周期信号的频谱
~x (t) A
fT (t)sin n0tdt 0
2
T 2 0
fT (t) cosn0tdt
纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只
含有直流项与余弦项。
• 2、奇对称信号（原点对称） fT(t)=fT(t)
f(t) A
T0 / 2
0 T0 / 2
t
-A
an

2 T
T
2 T
2
fT (t) cosn0tdt 0
连续周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和
例如例1,2信号

fT (t) Cn e jn0t
n =
~xr
(t)

A 2

2A π
cos0t

2A 3π
cos30t

2A 5π
cos50t

~xΔ
(t)

1 2

4 π2
cos 0t

4 9π2
cos
30t

• (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； • (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
不满足Dirichelet条件的信号
吉伯斯现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
2

由
f (t) C0 2 Re( Cne jn0t )
n1
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为

f (t) (A / T0 ) (2A / T0 )Sa(n0 / 2) cosn0t n1
若=T/2，则有
fT (t)

A 2

2A

(c
os
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
1.2
1
N=5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
N=50
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
1
N=15
0.8
1te jn0t dt)
0
2

1
(te jn0t
0

0 e jn0t dt te jn0t
1

1 e jn0t dt)
2 jn0
1 1
00

1
(n
)2
(cos
n
1)
0

2
T

Cn

1
(n )2
(cosn
1)

2 /(n )2 , n为奇数
(2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响 应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时 激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰 减还是增强一目了然。
1. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为

f (t) Cn e jn0t 其中
n =
Cn
f
(t)

1 2

m=1
4
[(2m 1) ]2