第一天2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：22BFCE =F ··K AK JEAJ . 2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥ia .⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,11311215zx yz xy z z y y x x第二天2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。

——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3x +3y =x -y ,求证：.1422＜y x +6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，⋯21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数；(2)问：2018是否为好数？7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：.11121mn m a a a n ++⋯++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的边至少为多长？【题1】证：如图，连接BK ，CJ.∠E =∠ABP —∠BPE ，而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ， 故 ∠E =ABP —∠A ，又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF .由此，,AK JEKB JE BF CE == ③ .KFAJKF JC BF CE == ④ 将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一：①式可化为()()()22211311215z zy y x x +=+=+. ③显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan2α，y =tan 2β，z =tan 2γ，则sin α=212x x +, sin β=212y y +, sin γ=212z z+,③即13sin 12sin 5sin γβ==α. ④ ②式可化为xyyx z -+=11, 即 2tan2cotβαγ+=.注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以222γπβα-=+, 即 α+β+γ=π.从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，1sin 1312sin 135sin ===γβα，，.从而 x =tan2α=15或5， y =tan 23322或=β， z =tan 12=γ.将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭⎫⎝⎛13251，，是唯一正数解. 故原方程组有两组解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325113251，，和，，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =1yzy z-+，代入①得 ()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.511511222222， 即5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z), 同理 5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz ).整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z , 18y 2z +13yz 2=13y +8z ,两式相加，得30yz (y +z )=20(y +z ),∴ yz =zy 32,32=,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解：.1,32,511,32,51⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛和【题3】解：存在，如下图所示。

【题4】解： 若0<a <2,n 充分大时，12-n >na ,令==-i m m A i i },2{1为奇数1,2，…,n -1,12{-=n n A 的倍数}，则该分拆满足要求。

若a ≥2,设1A ,2A ,…n A 满足要求，令M ={1，2，…，n 2}，下证M A i ⋂≤i n -2.设M A i ⋂ ={则＜＜＜，,},,,211m m 2x x x x x x ⋯⋯i m m m m m n m x x x x x x x x )21()-()()(2122111-≥+⋯+-+-=----＞.∴ m -1<i n -2,即m <i n -2+1,故m ≤i n -2.=⋂i M A i ,1,2,…,n 为M 的一个分拆，故∑∑----=≤⋂==ni n i n i n i nM A M 11,1222矛盾.∴ 所求的a 为所有小于2的正实数.【题5】证：由平均不等式2523≥+y x y 24245xy ＞y x ,所以 ()()33224y xy x yx +-+＜,从而 143322=-++yx y x y x ＜.【题6】解：我们断言最小的好数为5，且2018是好数.在三点组(k j i P P P ,,)中，若j i P P 为有理数(或无理数)，k i P P 和k j P P 为无理数(或有理数)，我们称(k j i P P P ,,)为一个好组. (1)n =3显然不是好数.n =4也不是好数.若不然，假设4321,,,P P P P 满足条件，不妨设21P P 为有理数及(321,,P P P)为一好组，则(432,,P P P )为一好组.显然(142,,P P P )和( 342,,PP P )均不是好组.所以4321,,,P P P P 不能满足条件.矛盾!n =5是好数.以下五个格点满足条件：5A ={(0，0)，(1，0)，(5，3)，(8，7)，(0，7)}.(2)设 A ={(1，0)，(2，0)，…，(669，0)}.B ={(1，1)，(2，1)，…，(668，1)}.C ={(1，2)，(2，2)，…，(668，2)}.C B A S ⋃⋃=2005.对任意正整数n ，易证12+n 和42+n 不是完全平方数.不难证明，对于集合2005S 中任两点j i j i P P P P ,,为有理数当且仅当j i P P 与某一坐标轴平行.所以，2018是好数. 注：当n =6时，0)}{(-2456，⋃=A A ；当n =7时，7)}{(-2467，⋃=A A .则可验证n =6和7均为好数.当n ≥8时，可像n =2018那样排成三行，表明n ≥8时，所有的n 都是好数.【题7】证：构造{}.2,1,n i b a S b T i i ，⋯=∈=则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i a m T ,由于T 中任意两个数都不能同时整除S 中的一个数，所以当i ≠j 时，∅=j i T T .则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==i ni ni i a m T 11≤m . 又因为1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i i a m a m ＜, 所以 n m a m a m a m ni i ni ni i ni i +≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑====11111)1(＜,即 ∑∑==+=ni ini i n m a ma m 111＜, 所以∑=+ni imnm a11＜.【题8】解：设长方形为ABCD ，AB =a ,BC =b ，中心为O .以O 为原点，建立直角坐标系，x 轴、y 轴分别与正方形的边平形. 情形1：线段BC 与坐标轴不相交.不妨设BC 在第一象限内，∠BOX ≤21(90°-∠BOC )(图1).此时正方形的边长≥BD cos ∠BOX ≥BD cos290BOC∠-︒=BD cos45°cos21∠BOC +BD sin45°sin 21∠BOC =22(a +b ).所以此时所在正方形边长至少为22(a +b ).情形2：线段BC 与坐标轴相交.不妨设BC 与x 轴相交，不妨设∠COX ≤21∠COB (图2). 此时正方形的边长≥AC cos ∠COX ≥AC cos 2COB∠=a . 所以此时所在正方形边长至少为a .比较情形1，2中结论知：若a <(b )12 ,则正方形的边长至少为a .若a ≥(2+1)b ,则正方形的边长至少为22(a +b ).。