t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
t=8
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
utt a 2u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
t=9
0.01
0.01
0
0
-0.01
-0.01
-0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-0.02 -0.03 -0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(dx)2 a 2 (dt )2 x at C 解得特征线为 做变换 x at ，则 ux u x u x u u
x at
uxx u u u u u 2u u
utt a 2 (u 2u u )

( x at ) ( x at )
2 1 x at x0 ( s)ds 2a
1 x at x0 ( s)ds 2a
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
1 xat ( s)ds 2a xat
特解
可分解成如下两个问题
vtt a 2vxx , x , t 0 （Ⅰ） v |t 0 ( x), vt |t 0 ( x)
和
用达朗贝尔公式求解
如何求解？用齐次化原理
wtt a 2 wxx f ( x, t ), x , t 0 （Ⅱ） w |t 0 0, wt |t 0 0
齐次化原理：
若 w( x, t ; ) 是下列问题
wtt a 2 wxx , x , t w |t 0, wt |t f ( x, )
utt a 2uxx 的通解为 于是
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
f ( x) g ( x) ( x) 由初始条件得： af '( x) ag '( x) ( x)
对第二式积分：a( f ( x) g ( x)) c ( s)ds
随着时间的推移，其波形如图所示：
t0
2 1 0 2
-4
-2
2
4
t1
-4 -2 0
1
2 2
4
t2
-4 -2
0
1 2
2
4
2
t3
-4 -2 0
1 2 4
2
t4
-4 -2 0
1 2 4
2
t5
-4 -2
0
1
2
4
图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零：
7 sin x ( x) l 0
u( x,0) e
x2
f1 (3x) f2 ( x) e
f1(-3x) f 2( x) = 0
x2
u ( x, 0) =0 y
1 f1 (3x) f 2 ( x) C 3
两式联立，求解得
3 x2 3 f 1 (3 x) e C 4 4 3 x2 / 9 3 f1 ( x) e C 4 4 3 x2 3 f 2 ( x) e C 4 4
故原问题的解为 3 y 3 x 2 3 3 y x 2 3 u e C e C 4 4 4 4
3 y 3 x 2 3 y x 2 e e 4 4
2 达朗贝尔公式的物理意义
(1) f ( x at ) 的物理意义
0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。 例1 解定解问题
解
2u 2u 2u 3 2 0, y 0, x 2 2 x xy y 2 u ( x,0) e x , u ( x,0) 0, x y 方程的特征方程为
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有
u ( x, t ) [ e
1 2
( x at )2
e
( x at ) 2
]
1 2a

x at
x at
2ase
s2
ds

1 [e ( x at ) 2
2
e
( x at ) 2
]
1 2

x at
x at
e
s 2
（2）区间 [ x1 , x2 ] 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 答：过 ( x1 ,0) 和( x2 ,0)分别作斜率 为 a 1 和 a 1 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 [ x1 , x2 ] 上的初值决 定。 称此区域为 [ x1 , x2 ] 的决定域。
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
x0
x
联立求解得
1 1 x c f ( x) 2 ( x) 2a x0 ( s ) ds 2a 1 1 x c g ( x) ( x) x0 ( s)ds 2a 2 2a
于是原问题的解为 u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
特征线， 斜率1/a
特征线
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
（3）区间 [ x1 , x2 ]上的初值都能影响到哪些点处的函数值？
答：过 ( x1 ,0) 和 ( x2 ,0) 分别作斜率为 a 1 和 a 的两条直线， 与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 [ x1 , x2 ] 上
dy 2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy dx) 0
解得特征线为
y 3x = C1
y x = C2
做变换 y 3x y x 于是方程的通解为
2u 0 ，则
u f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( y 3x) f 2 ( y x)
看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：
（1） u ( x, t )
，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步
由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间[x-at, x+at]上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。
进一步分析：方程的特征线为
x at C
过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图
表示的波形向左、右以a的速度移动。
1 xat 1 xat 1 xat u ( x, t ) ( )d ( )d ( )d 2a xat 2a 2a x0 0 该式表示将函数 1 x ( )d x / 2a x 1 2a 1 / 2a x 1
( x)
2
由达朗贝尔公式有
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
可见右行波与左行波分别为
1 1 f ( x at ) ( x at ) g ( x at ) ( x at ) 2 2
于是右行波与左行波的波形均为
1 f ( x) g ( x) ( x) 2
f ( x)
1
即 t =0 时的波形
2 4 6 8
2
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
f ( x at )
2
即 t 时的波形
2
4
6
8
f ( x at ) 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，
称为右行波。
同理
g ( x at ) 表示以速度a沿x轴的左行波。
行波
(2) u f ( x at ) g ( x at ) 的物理意义 例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0 ( x) 1 x, 0 x 1 其它 0， ( x) 0
试说明其解的物理意义。
2 1 -2 0
第三章 行波法
无界区域上偏微分方程的一种求解方法
§3.1 达朗贝尔（
DAlembert ）公式
1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导