{123} = (123) + (123) + (123) + (123) + (132) + (132) + (132) + (132) + (231) + (231) + (231) + (23 1) + (213) + (213) + (2 13) + (213) + (312) + (312) + (3 12) + (312) + (321) + (321) + (321) + (32 1)
⎛ k1l1 ⎞ ⎛ l1h1 ⎞ ⎛ h1k1 ⎞ u :v:w = ⎜ ⎟:⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ k 2 l2 ⎠ ⎝ l 2 h2 ⎠ ⎝ h 2 k2 ⎠
27
u = k1l2 − k2l1 , v = l1h2 − l2 h1 ,
w = h1k2 − h2 k1
固体结构 — 晶面与晶向
课堂练习： （1）求（112）和（123）晶面的晶带轴。 （2）判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直。
材料物理基础
Fundamentals of Materials Sciences
第二章 固体结构 （3）晶面与晶向
2012年9月
1
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数标定
y三轴坐标系 y四轴坐标系
术语，符号 概念，定义
重要概念
y晶面，晶向，晶面族，晶向族， y晶带，晶带轴，晶带面 y球面投影，极射投影
(110), (112), (111), (021)
（3）判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)。 （4）已知晶带轴，判断哪些晶面属于该晶带。 [hkl] [uvw] (hkl)
For orthorhombic:
固体结构 — 晶面
3. 晶带定理
y
相交于某一直线（晶向[uvw] ）或平行于此直线的所有晶面构 成一个晶带，直线用[uvw]晶向表示，称为晶带轴，与晶带轴 平行的所有晶面(hkl)称为共带面或晶带面。
• 同一晶带的所有晶面都平 行于晶带轴，其法线都与 晶带轴垂直。
d hkl =
a h +k +l
2 2 2
1 d hkl = h 2 k 2 l 2 ( ) +( ) +( ) a b c
d hkl = 1 l 2 4 h 2 + hk + k 2 ( )+( ) 2 a c 3
For hexagonal: 六方晶系
24
固体结构 — 晶向 晶面夹角
For cubic: 立方晶系
y
y
y
11
固体结构 — 晶向
< 100 >= [100] + [010] + [001] + [100] + [0 10] + [00 1]
< 110 >= [110] + [011] + [101] + [110] + [0 11] + [ 101] + [110] + [01 1] + [10 1] + [1 10] + [0 1 1] + [ 10 1]
20
固体结构 — 晶面
[001]
o
[010]
[100]
{111} = (111) + (111) + (1 11) + ((11 1) + (1 1 1) + (1 1 1) + + (11 1) + (1 11)
21
固体结构 — 晶面
课堂练习
{112} = (112) + (112) + (1 12) + (112) + (121) + (121) + (121) + (12 1) + (211) + (211) + (2 11) + (21 1)
B y
A
x
7
o
固体结构 — 晶向
z （1）待求晶向必须通过原点，若 晶向不通过原点，过坐标原点作 待求晶向的平行线；或将坐标原 点移至待求晶向上；将该晶向末 端的坐标值减去始端的坐标值。 （2）坐标值为为负数时， 在相应 的指数上方标上负号。
-1, 1, 0
o
y
x
8
固体结构 — 晶向
已知晶向指数，在晶胞中画出该晶向： (1) 画出晶胞，确定坐标原点（指数均为正，原点选择左下 方顶点），选择X、Y、Z三个坐标轴； (2) 找到坐标为u, v, w的点，连接原点到该点的线段即为该晶 向(如果指数中有大于1的，则各指数除以max（u，v，w）） (3) 当指数为负数时，为了使该晶向画在晶胞内，必须将坐 标原点沿负数指数对应轴的正向移动。 课堂练习：在画出以下晶向： [001] [111] [112]
⋅
u2 + v2 + w2
2
2
2
For orthorhombic: 正交晶系
cos ϕ =
( u1a )2 + ( v1b )2 + ( w1c )2 ⋅ ( u2a )2 + ( v2b )2 + ( w2c )2
u1u2a 2 + v1v2b2 + w1w2c 2
For hexagonal: 六方晶系
z
坐标轴x、y、z
截距 oA = 3/4 oB = 3/5 oC = 1
截距的倒数 1/oA = 4/3 1/oB =5/3 1/oC = 1
C
c a b
o
B
加上圆括号
y
化为最小整数 4/3×3=4 5/3 ×3=5 1 ×3=3
A
x
14
(hkl)=(453)
固体结构 — 晶面
晶面与某晶轴平行 z c
16
固体结构 — 晶面
课堂练习：已知晶面指数，在晶胞中画出以下晶面 (001)
(110)
(2 11)
(111)
17
(112)
固体结构 — 晶面
y y y
每个晶面指数代表空间一组相互平行晶面。 在晶体中相互平行的晶面为等同晶面。 指数相同而符号相反的晶面相互平行，为等同晶面。
[111]
111
18
固体结构 — 晶面
cos φ =
h1h2 + k1k2 + l1l2 h +k +l
2 1 2 1 2 1
⋅
h2 + k2 + l2
2
2
2
25
h1h2 k1k2 l1l2 + 2 + 2 2 a b c 正交晶系 cos φ = h k l h k l ( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 ⋅ ( 2 )2 + ( 2 )2 + ( 2 )2 a b c a b c For hexagonal: 六方晶系 3 c 2 1 h1h2 + k1k2 + ( ) l1l2 + ( h1k2 + h2k1 ) 4 a 2 cos φ = 3 c 3 c 2 2 2 2 2 2 h1 + k1 + ( )2 l1 − h1k1 ⋅ h2 + k2 + ( )2 l2 − h2k2 4 a 4 a
< 111 >= [111] + [111] + [1 11] + [11 1] + [1 1 1] + [1 1 1] + +[11 1] + [1 11]
12
固体结构 — 晶向 晶向夹角
For cubic: 立方晶系
cos ϕ =
u1u2 + v1v2 + w1w2 u1 + v1 + w1
2 2 2
（2）晶面
y由原子/阵点构成的一组平面。 y这些平面相互平行并且等间距。
4
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数 （1）三轴坐标系
y晶向指数[uvw]；晶面指数(hkl) y称为米勒指数（Miller index） y米勒指数适用于任何晶系的晶面和晶向指数标定。
（2）四轴坐标系
y晶向指数[uvtw] ；晶面指数(hkil) y称为米勒-布拉维指数（Miller-Bravais
O
6
固体结构 — 晶向
1. 晶向指数标定 坐标原点O
z
坐标轴x、y、z [025] P点
晶向上 任意点P
通常取直线与六面 体的顶点、面和棱 边相交的点
P点坐标值 1/2，1，1/2
化为最小整数 1/2×2=1 1 ×2=2 1/2 ×2=1 加上方括号 [uvw]=[121]
C
a
c
[121] P
b
9
[2 11]
固体结构 — 晶向
y y
晶向指数表示空间所有相互平行、方向一致的晶向； 相互平行但方向相反的晶向，其晶向指数的数字相同而符号 相反。 [850]
[100] [010]
[0 10]
10
固体结构 — 晶向
晶向族
y
晶体中原子排列和分布完全相同、只是空间位向不同的晶 向为等价晶向。互为等价的一系列晶向归为一个晶向族。 取其中某一个晶向指数表示该晶向族，记为<uvw>。 晶体结构的对称性越高，归属于一个晶向族的等效晶向数 目也越多。 立方结构，对称性最高，晶向指数的三个数字排列顺序和 正负号不同的所有晶向构成一晶向族。 对于非立方结构，由于对称性不同，相同指数的晶向不一 定是等价晶向。