中考第23题专题之-----抛物线与特殊的四边形的存在性问题
1．如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
2如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA=OB=3，过点A，B的抛物线对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一交点为点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C在x轴上滑动，一直角所在的直线过点B，另一条直角边与抛物线交点为E，其横坐标为4，试求点C的坐标；
（3）如图3，点P为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在x轴上方图象上一点，N为平面内一动点，是否存在P、M、N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
4已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，点E 为x轴上一个动点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）已知点F是抛物线y=ax2+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3，0），顶点为D ．
（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，
使以点P 、Q 、A 、B 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．x
O
y
B
A D E C
1解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2).∴x=2
又∵tan∠OAC=="2,"∴OA=1,即A(1,0).
又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上.∴0=12＋b×1＋2,b=－3
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2
（2）存在
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=－.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE=tan∠CPD∴,即，解得PE=或PE=，∴点P的坐标为（，）或（，）。

（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)
∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)="-"t2＋2t
∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)
=MN▪(t+2-t)="MN=-"t2＋2t(0＜t＜2),
∴S△BCN="-"t2＋2t=-(t-1)2+1
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）
2
3（1）∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意，得
，
解得
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
（3）∵y=-x2+2x+3，
∴y=-（x-1）2+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
（1）当AQ=BQ时，如图，
由勾股定理可得
BQ==，
AQ==得
=，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴=
解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，则此时Q的坐标是（1，0）；
（3）当AQ=AB时，如图：
=，解得a=±，则Q的坐标是（1，）和（1，-）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，-）
4。