经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
将图2中△BPO 单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO ∽△BPO ，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO 与△BPO 有公共角∠O ，且OB OP OP OC =某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O 、∠B =∠OPC ）（构造出△PCO ∽△BPO 后可以得到OBOP OP OC =，进而推出OC OB OP ∙=2，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定C 的位置后，连接AC ，求出AC 长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解例1：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +BP 21的最小值.解答：如图2，连接CP ，因为CP =2，AC =6，BC =4，简单推算得31=AC CP ，21=CB CP ，而题目中是求“AP +BP 21”其中的“k =21”，故舍弃在AC 上取点，应用“21=CB CP ”，所以在CB 上取一点D ，使CD =1，则有21===BP PD CB CP CP CD ，无论P 如何移动，，△PCD 与△BCP 始终相似，故PD =BP 21始终成立，所以AP +BP 21=AP +PD ，其中A 、D 为定点，故A 、P 、D 三点共线时最小，AP +BP 21=AP +PD =AD =22CD AC +=37（思考：若求13BP PA +呢？）（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2PA +PB 的最小值.解答：首先连接OP ，因为OP =6，OA =3，OB =5，所以21=OP AO 、65=OP BC ，题目求的是“2PA +PB ”，其中的“k =2”与之相关的是21=OP AO ，故在OA 上取点，考虑到是2PA ，故在OC 上取点H ，使OH =12，则有21===PH AP OH OP OP OA ，无论P 如何移动，△PAO 与△HPO 始终相似，故PH =2PA 始终成立，所以2PA +PB =PH +PB ，其中H 、B 为定点，故H 、P 、B 三点共线时最小，2PA +PB =PH +PB =22OB OH +=13.（思考：若求65AP PB +呢？）例3：如图1，已知AC =6，BC =8，AB =10，⊙C 的半径为4，点D 是⊙C 上的动点，连接AD 、BD ，则AD +BD 21的最小值为？解答：首先连接CD ，因为CD =4，CB =8，CA =6，所以21=CB CD 、32=CA CD ，题目求的是“AD +BD 21”，其中的“k =21”与之相关的是21=CB CD ，故在CB 上取点，故在CB 上取点H ，使CH =2，则有21===BD HD CB CD CD CH ，无论P 如何移动，△DHO 与△BDC 始终相似，故HD =BD 21始终成立，所以AD +BD 21=AD +DH ，其中H 、A 为定点，故H 、D 、A 三点共线时最小，AD +BD 21=AD +DH =10222=+AC CH .（思考：若求23BD AD +呢？）例4：如图1，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为△ABC 内一动点，且满足CD =2，则AD +BD 32的最小值？解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“CD =2”更加确定此题有隐藏圆，如图2，D 在r =2的⊙C 上，下面步骤完全与上相同，故略。
4103例5：如图1，在R t △ABC 中，∠C =90°，CA =3，CB =4，⊙C 的半径为2，点P 是⊙C 上一动点，则AP +PB 21的最小值？解答：如图2，连接CP ，口算32=CA CP 、21=CB CP ，故选择在CB 上取点，构造“核武器”“母子型相似模型”，取点H ，使CH =1，则有21===BP PH CB CP CP CH ，所以无论P 如何移动，△PCH 与△BCP 始终相似，故PH =BP 21始终成立，所以AP +PB 21=AP +PH ，其中H 、A 为定点，故H 、P 、A 三点共线时最小，AP +PB 21=AP +PH =1022=+AC CH .（思考：若求23BP AP +呢？）例6：如图1，正方形ABCD 边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则2PD +PC 4的最小值？解答：此题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路21=BC BP 、21=BA BP （因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和“2PD +PC 4”没关系啊！实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到“一动两点”，在此题中，“一动”指的是“动点P ”，“两定”不是指A 、C ，而是要看问题“2PD +PC 4”问题中P为动点，C 、D 才是定点，故本题应该比较21=BC BP ，42242==BD BP ，故选择在BD 上取点H （如图2），使得BH =22，则有42===PD PH BD BP BP BH ，所以无论P 如何移动，△PBH 与△DBP 始终相似，故PH =42PD 始终成立，所以2PD +PC 4=4（PC +42PD ）=4（PC +PH ），其中H 、C 为定点，故H 、P 、C 三点共线时最小，2PD +PC 4=4（PC +42PD ）=4（PC +PH ）=4CH ，CH =225)27()21(2222=+=+ MC PM ，故答案为102.（思考：若求12PD PC +呢？）例7：如图1，在已知菱形ABCD 的边长为4，∠B =60°，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上一动点，则PC PD 63+的最小值？解答：比较BP 、BC 、PD ，得63=BD BP ，21=BC BP ，故在BD 上取点H ，使得BH =33，故63===PD PH BD BP BP BH ，所以PH =63PD ，PC 63+=6（PC +63PD ）=6（PC +PH ）=6111222=+MC HM （思考：若求12PD PC +呢？）例8：在平面直角坐标系中，A （2,0）、B （0,2）、C （4,0）、D （3,2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA =135°，则2PD +PC 的最小值是？解答：首先从问题，大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题，然后P 是动点，但是AB 是定线段，∠BPA =135°是定值，属于“定弦定角”“隐圆模型”，故构建⊙O ，如图2，然后下面过程略，答案：例9：如图1，在R t △ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC +2PB 的最小值？解答：如图2，取AH =4，△APH ∽△ABP ，故PH =32BP ，所以3PC +2PB =3（PC +32BP ）=3（PH +PC ）=3CH ，利用∠CBA =60°BC =8，可以求出BH =4，进而可知HM =1，CM =34，故CH =7五.“阿氏圆”实战训练练1：如图，在边长为4的正方形ABCD内，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC 的最小值为？（答案：）练2：如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为？（答案：）练3：（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）1x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x 两点，直线AC：y=﹣2轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求21AM +CM 它的最小值．答案：（1）224y x x =--+（2）G （-2,4）（3）①E （-2,0）、H （0，-1）②2练4：（2018西北工业大学附属中学中考模拟压轴题）【问题提出】（1）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BD 是AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE ，并说明BD =CE ；【问题探究】（2）如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，PA =3，求PC +21PD 的最小值；【问题解决】（3）如图3，在矩形ABCD 中，AB =18,BC =25，点M 是矩形内部一动点，MA =15，当MC +53MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC +53MD 的最小值.答案：（1）略（2）7.5（3）欢迎大家扫码关注我的微信公众号“小段说数学”。