山东省威海市乳山一中2021届高三10月学情检测数 学一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合{|{2023}A x y B ===-,,,,，M A B =，则M 的子集共有( )A.3个B.4个C.7个D.8个2..已知i 为虚数单位，复数z 满足23i 1z --=，则z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量(2,2),(,1)AB AC t ==，若2AB BC ⋅=，则t =( ) A.5 B.4 C.3 D. 24.已知函数()f x 对任意 R x y ∈,，都有()()()f x y f x f y +=，且1(1)2f =，则01()ni f i ==∑( ) A. 112n -B. 122n - C. 21n - D. 121n +- 5.设θ为第二象限角，若()1tan 47θπ+=，则sin cos θθ+=( )A. 15- B. 15 C .75D. 75-6.已知函数()ln(1f x x =++，若正实数,a b 满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为( )A.4B.8C.9D. 137.已知函数1()ln 0x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩,,，()()g x f x x a =-+，若()g x 恰有3个零点，则实数a的取值范围是( )A. 1a <-B. 0a >C.10a -<< D. 1a >8.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为( ) A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9.下列命题正确的是( )A. 若角()44k k k Z θππ⎛⎫∈π-π+∈ ⎪⎝⎭,，则22sin cos θθ>B. 任意的向量,a b ，若|a b ||a ||b |⋅=，则//a bC. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++（,,a b c 为常数），则{}n a 为等差数列的充要条件是0c =D. 函数()f x 的定义域为R ，若对任意R x ∈，都有(21)(12)f x f x +=-，则函数(2)y f x =的图像关于直线1x =对称10.函数()2sin()(0,π)f x x ωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )A. ()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 若把函数()f x 的图像向左平移π2个单位，则所得函数是奇函数C. 若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[]π,π-上 是增函数D. ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3，若3π(3)2f x a f ⎛⎫+≥⎪⎝⎭恒成立，则a2+ 11.若,a b 为正实数，则a b >的充要条件为( )A. 11a b> B. ln ln a b > C. ln ln a a b b < D. a b a b e e -<-12.已知函数3e , 1 ()e ,1x x x x f x x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是( )A. 点()0,0是函数()f x 的零点B. 12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈,使12()()f x f x >C.函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D. 若关于x 的方程[]2()2()0g x ag x -=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦三、填空题（每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中，若12564,6a a a a +=+=，则910a a +=_________. 14.sin 40(tan103)︒︒-=_________.15.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．16.已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，则a 的取值范围是__________；若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是___________. （第一个空2分，第二个空3分） 四、解答题（共70分）17(10分）.在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()a b a c c -=-. （1）求角B .（2）若 3b =，求2a c +的最大值.18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*112,32,N n n a S S n +==+∈. （1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；19.（12分）如图, 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,//,2AD BC AB CD CD AB DD === ,,E F 分别为11,A B AD 的中点，2π=3ABC ∠.（1） 证明：//EF 平面ABCD .（2） 求直线EF 与平面FCD 所成角的正弦值.20.（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关？年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户120不常使用单车用户 80合计 160 40 200共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望. ()20P K k ≥0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635其中，2,()()()()K n a b c d a b c d a c b d ==+++++++21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，原点到直线1x y a b +=（1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．22.（12分）已知函数()1ln ,R f x a x a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.参考答案1-5BABDA 6.-8：CDB 9.：BC 10.：ABD 11.：BD 12：BC 13.814.：-1 15.：900 16.：108a <<;(,112ln 2)-∞-+16.解析：由题可得()221()0ax x f x x x'-+=>，因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩△,解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---. 设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+.17.答案：（1）22()a b a c c -=-即222b a c ac =+-2222cos b a c ac B =+-1cos (0,π)2B B ∴=∈π3B =∴ （2）由sin sin acAC ==可得，2sin ,2sin a A c C ==24sin 2sin a c A C +=+∴2+π3A C =∵2π3C A ∴=-2π24sin 2sin 3a c A A ⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭5sin )A A A β=+=+（其中tan β=）2π03A << 2a c +∴的最大值为18.（1）对任意的*N n ∈，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=， 所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S =-∴. 当2n ≥时，()()111313123n n n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎪⎨⨯≠⎪⎩， *N n ∈∵，解得1n =或2；19.答案：（1）连接1,A D BD ,易知侧面11ADD A 为矩形，F ∵为1AD 的中点,F ∴为1A D 的中点.E ∵为1A B 的中点,//EF BD ∴BD ⊂∵平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD //EF ∴平面ABCD（2）在平面ABCD 中，过点D 作DM CD ⊥，易知1DD ⊥平面ABCD , 故以D 为原点，分别以1,,DM DC DD 所在直 线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设124DD AB CD ===,则1,22E F ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0),(0,4,0)D C ，333137=,,0,=,,2,=,,2222EF DF FC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面FCD 的法向量为(,,)a b c =m ,由00DF FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即12027202b c b c ++=⎨⎪+-=⎪⎩解得040b c =⎧⎪+=令4a=，得c =，所以(4,0,=m4cos ,16EF EF EF ⋅<>===m m m所以直线EF 与平面FCD于是100,20,60,20a b c d ====22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=⨯>⨯⨯⨯∴ 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，(3,0.1),0,1,2,3,X B X ~=3(0)(10.1)0.729,(1)0.243P X P X ==-===∴3(2)0.027,(3)0.10.001P X P X =====X ∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=.21.答案：（1）由2=⎪⎪=，得224,2a b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=． （2）根据题意可设直线AB 的方程为y x n =-+，联立22142y x nx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22342(2)0x nx n -+-=，由22(4)432(2)0n n =--⨯⨯->△，得26n <．设1122(),(,)A x x n B x x n -+-+,，则()21212224,33n nx x x x -+==又设AB 的中点为00()M x x n -+,，则12002,233x x n n x x n +==-+=. 由于点M 在直线y x m =+上，所以233nnm =+，得3n m =-代入26n <，得296m <，所以m <<① 因为1122(,3),(,3)QA x x n QB x x n =-+-=-+-，所以212122(3)()(3)QA QB x x n x x n ⋅=--++-2224(2)4(3)3619(3)333n n n n n n ---+=-+-=.由328QA QB ⋅<，得2361928n n -+<，即13n -<<所以133m -<-<，即113m -<<②由①②得13m <<. 故实数m 的取值范围为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.22. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-=⎪⎝⎭， 当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值， 当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值. （2）设()()2ln 2h x f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()()()()()22222122121120x a x a a ah x x x x x a x x x +---'=-+=-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，()h x 至多有两个零点.②若12a =-，则()()0,,0h x x '∈∞≥+（仅()10h '=）. ()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点.③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增；当()2,1x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立. 由()10h <，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h >，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2e a <-，322e a -<<-∴.并且，当322ea -<<-时，2201,2a e e -<>-<， ()()()22222422452410h e e a e e e e e ---=++-<+<+--<-，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()h x 有三个零点的的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。