重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知(2,0),M -(2,0),N ||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．一条射线D ．双曲线右边一支 【答案】D【解析】根据双曲线的定义直接得到结果. 【详解】3PM PN MN -=<Q 且PM PN > ∴动点P 的轨迹为双曲线的右边一支故选：D 【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误. 2．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（1，0）C ．1(0,)16D ．1(,0)16【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标. 【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，即18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题. 3．命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是（ ） A ．(,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-< B ．[1)x ∃∈+∞，使得210x x +-< C ．(,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥ D ．[1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<【答案】B【解析】根据全称量词命题的否定原理可直接得到结果.根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：[)1,x ∃∈+∞，使得210x x +-<故选：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4．圆锥曲线22189x y m +=+的离心率12e =，则m 的值为（ ）A ．54-B ．4C ．54-或4 D ．-2或4【答案】C【解析】分别在89m +>、089m <+<和80m +<三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果. 【详解】若89m +>，则12e ==，解得：4m =若089m <+<，则12e ==，解得：54m =-若80m +<，则12e ==，解得：152m =-（舍）综上所述：54m =-或4 故选：C 【点睛】本题考查根据离心率求解参数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在x 轴或y 轴的椭圆、或曲线为双曲线.5．已知P 为以F 为左焦点的椭圆22143x y +=上一点，M 为线段PF 中点，若1||2OM =（其中O 为坐标原点），则||PF =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．1或3【答案】C【解析】根据三角形中位线性质可求得1PF '=，利用椭圆定义可求得结果.设椭圆右焦点为F ',M O Q 分别为,PF FF '中点 1122OM PF '∴== 1PF '∴= 由椭圆定义可知：4PF PF '+= 413PF ∴=-= 故选：C 【点睛】本题考查椭圆焦半径的求解问题，关键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解. 6．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点，则m 的范围是（ ） A． B．C．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，由此可解不等式求得结果. 【详解】设直线y x m =-+与221x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y ，则1>0x ，20x >联立221y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222210x mx m -+-= ()221221248100102m m x x m m x x ⎧∆=-->⎪⎪∴+=>⎨⎪-⎪=>⎩，解得：1m << m ∴的取值范围为( 故选：A 【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式.7．抛物线2x =的焦点为F ，其准线与双曲线2221y x b-=(0)b >相交于A ，B两点，若ABF V 为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（ ）A ．y x =± B．y = C．y =D ．2y x =±【答案】A【解析】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得b ，得到双曲线方程，进而求得结果. 【详解】由抛物线方程知：(F，准线为y =由2221y y x b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ABF ∆Q 为等边三角形=1b =∴双曲线方程为221x y -= ∴渐近线方程为y x =±故选：A 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程.8．已知双曲线22:145x y C -=的左右焦点分别为1F 、2F 动点A 在双曲线左支上，点B为圆22:(2)1E x y ++=上一动点，则2||AB AF +的最小值为（ ）A1 B1 C3 D3【答案】D【解析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为14AB AF ++；由三角形两边之差小于第三边可知当,,A B E 三点共线时AB AE r ≥-；进一步根据两边之和大于第三边可得当1,,F A E 三点共线时11AE AF EF +≥，由此可知213AB AF EF +≥+；利用两点间距离公式求得1EF ，进而得到结果. 【详解】由题意得：()13,0F -，()23,0F ，圆心()0,2E -，半径1r =由双曲线定义知：214AF AF -= 214AB AFAB AF ∴+=++ AB AE r ≥-Q （当且仅当,,A B E 三点共线且B 在线段AE 上时取等号） 213AB AF AE AF ∴+≥++又11AE AF EF +≥（当且仅当1,,FA E 三点共线且A 在线段1EF 上时取等号） ()()2221330023133AB AF EF ∴+≥+=--++=故选：D 【点睛】本题考查双曲线中的距离之和的最值的求解问题，关键是能够利用双曲线定义将问题转化为到另一个焦点距离最值的问题，进而利用三角形三边关系确定最值取得的点，考查了学生对于距离进行转化的能力.9．有下列几个命题：①“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”；②p 是q 的必要条件，r 是q 的充分不必要条件，则p 是r 的必要不充分条件；③若“()p q ⌝∧”为真命题，则命题p ，q 中至多有一个为真命题；④过点(1,2)的直线和圆221x y +=相切的充要条件是直线斜率为34.其中为真命题的有（ ） A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】由否命题的定义可知①正确；由推出关系可知②正确；由非命题和且命题的真假性可确定,p q 真假性，得到③正确；由斜率不存在直线也为切线可知充要条件不成立，④错误. 【详解】①由否命题定义可知①正确；②q p ⇒Q ，r q ⇒，q r ¿ r q p ∴⇒⇒，p r ¿p ∴是r 的必要不充分条件，②正确；③()p q ⌝∧Q 为真 p q ∴∧为假 ,p q ∴至少有一个假命题 即,p q 至多有一个真命题，③正确；④当过点()1,2直线斜率不存在时，即直线方程为1x =，此时直线与圆221x y +=相切∴④中所说充要条件不成立，④错误.故选：B 【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的相关命题的判定，涉及到四种命题的形式、充分条件与必要条件的判断、非命题与且命题真假性的判断等知识，属于综合应用类问题. 10．设直线(1)y k x =-与抛物线24y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，若||2||FM FN =，则k 的值为（ ）A ．±B ．±C ．2±D ．2±【答案】A【解析】由直线恒过抛物线焦点可知,,M F N 共线，由2FM FN =，结合焦半径公式得到12,x x 之间关系；直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得k . 【详解】由抛物线方程得：()1,0F()1y k x =-Q 恒过定点()1,0 ()1y k x ∴=-恒过焦点()1,0F ，即,,M F N 共线设()11,M x y ，()22,N x y2FM FN =Q ()12121x x ∴+=+ 1221x x ∴=+联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得：()2222240k x k x k -++=()1222211x x x x ∴⋅=+⋅=，解得：212x =或21x =-（舍） 12x ∴= 21222415222k x x k +∴+==+= 28k ∴=，解得：k =±故选：A 【点睛】本题考查抛物线焦点分弦成比例相关问题的求解，关键是能够通过比例关系得到两交点横坐标之间的关系，进而结合韦达定理求得交点坐标.11．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，若在双曲线C 的渐近线上存在点P 使121213PF PF F F -=，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)C ．(3,)+∞D ．(3,)+∞【答案】B【解析】设2PF 与双曲线右支交于Q ，结合双曲线定义可证得122PF PF a -<，由此可构造不等式求得e 的取值范围. 【详解】设P 为渐近线by x a =上一点，满足121213PF PF F F -=，2PF 与双曲线右支交于Q 2211PQ PF QF PF QF =->-Q 12122PF PF QF QF a ∴-<-=即223c a < 3ce a∴=<，又1e > ()1,3e ∴∈ 故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解问题，关键是能够结合双曲线的定义证得双曲线渐近线上的点到两焦点的距离之和小于2a .12．已知斜率为12的直线l 与椭圆22:1164x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 中点M 纵坐标为22-，点(22,2)P 在椭圆上，若APB ∠的平分线交线段AB 于点N ，则||||PN MN 的值MN 为（ ） A ．2B 32C 25D 5【答案】C【解析】利用点差法可求得M 坐标，从而得到直线AB 方程；将AB 方程与椭圆联立求得,A B 两点坐标，根据两点连线斜率公式求得,PA PB k k ，由,PA PB k k 互为相反数知PN 斜率不存在，由此得到N 点坐标；利用两点间距离公式求得,MNPN ，进而得到结果. 【详解】设2,2M M x ⎛- ⎝⎭，(),A A A x y ，(),B B B x y ，其中A B y y <222211641164AAB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差整理可得：11144222B A A B M ABB A A B y y x x k x x y y -+==-⋅=-=-+- 解得：2M x = 22,2M ∴-⎭设直线AB 方程为(21222y x +=，即22x y =+代入椭圆方程整理得：2210y +-=，解得：26A y --=，26B y -+=2626,2A ⎫∴⎪⎪⎭，2626,2B ⎭ 32PA k ∴=，32PB k =-∴直线PN 斜率不存在，方程为2x =()22,0N ∴ 102MN ∴=，2PN = 22510PN MN ∴== 故选：C 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标与斜率之间的关系.二、填空题13．直线310y +-=的倾斜角为________. 【答案】56π 【解析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】310y +-=得：13y x =+k ∴= ∴倾斜角56πθ= 故答案为：56π【点睛】本题考查直线倾斜角的求解问题，关键是能够通过直线方程整理得到直线斜率. 14．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4-+-=x y 相交于M ，N两点，若||MN ≥，则实数k 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()2,3，半径2r =∴圆心到直线3y kx =+的距离d =MN ===≥Q 11k ∴-≤≤即实数k 的取值范围为[]1,1- 故答案为：[]1,1- 【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的问题，关键是能够熟练应用垂径定理，将直线被圆截得的弦长表示为15．过点()2,2的双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点为1,F 2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的方程为________.【答案】22124x y -=【解析】根据垂直关系可得10AD F B ⋅=u u u r u u u r，根据数量积的坐标运算可构造关于,a c 的齐次方程求得离心率e ，即可得到,a c 关系；利用双曲线过点()2,2，222c a b =+可构造方程组求得结果. 【详解】令x c =，代入双曲线方程得：2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭//OD AB Q ，O 为12F F 中点 OD ∴为12F BF ∆中位线 22122b OD BF a∴==20,2b D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 23,2b AD c a ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭u u u r ，212,b F B c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r1AD F B ⊥Q 10AD F B ∴⋅=u u u r u u u r ，即()222422223322022c a b c c a a --+=-+= 422431030c a c a ∴-+= 4231030e e ∴-+=，解得：23e =或213e =（舍） 3e ∴=3c a =又22222441a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩ 22a ∴=，24b = ∴双曲线C 的方程为：22124x y -=故答案为：22124x y -=【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，关键是能够根据已知中的垂直关系得到两向量的数量积为零，进而通过坐标运算构造方程求得离心率，即,a c 之间的关系.16．已知抛物线()2:20y px p τ=>，过点()1,0的直线l 和抛物线τ交于,A B 两点，且有4OA OB AB k k k p =，C 为抛物线上异于,A B 的一点，若ABC ∆的重心恰为抛物线焦点，则p 的值为________. 【答案】4【解析】将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，将韦达定理结论代入4OA OB AB k k k p =，可整理求得AB k ，由此可得到AB 中点坐标；根据重心的性质可知23CF CM =u u u r u u u u r，由此构造方程求得结果.【详解】设():1AB AB y k x =-，与抛物线方程联立得：()2222220AB AB AB k x k p x k -++=设()11,A x y ，()22,B x y ，则212222AB ABk px x k ++=，121=x x ()()()22221212121211AB AB AB ABy y k x x k x x k x x k ∴=--=-++ ()22121222224OA OB AB AB AB AB AB AB y y k k k k k k k p pk p x x ∴=⋅=--=-= 2AB k ∴=- ():21AB y x ∴=-，1242p x x ++=AB ∴中点4,42p p M +⎛⎫⎪⎝⎭设2,2y C y p ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ABC ∆Q 的重心恰为抛物线焦点 23CF CM ∴=u u u r u u u u r即2224,,223422p y p y p y y p p ⎛⎫⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2242263233p y p y p pp y y⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：44p y =⎧⎨=-⎩ p ∴的值为4故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到韦达定理的应用、三角形重心的性质应用等知识；关键是能够将直线与抛物线联立，得到韦达定理的形式，通过韦达定理的结论求得所给直线的斜率.三、解答题17．已知22:126x y p m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；22:135x y q m m-=--表示双曲线.（1）试写出p 的一个必要不充分条件；（2）若p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2,5（答案不唯一）；（2）(][)2,34,5U .【解析】（1）根据焦点在y 轴椭圆标准方程的特征可得不等式求得m 范围；由必要不充分条件的推出关系可知所求条件为以()2,4为真子集的区间，由此得到结果； （2）根据椭圆与双曲线的标准方程特征求得,p q 分别为真命题时m 对应的范围；由复合命题真假性知,p q 一真一假，由此讨论两种情况得到结果. 【详解】（1）若p 为真，则有620m m ->->，解得：24m << 故p 成立的一个必要不充分条件为以()2,4为真子集的区间∴一个必要不充分条件为()2,5（2）若q 为真，则有()()350m m -->，解得：35m << 由p q ∧为假，且p q ∨为真可知,p q 一真一假 若p 真q 假，则有2435m m m <<⎧⎨≤≥⎩或，解得：23m <≤若p 假q 真，则有2435m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或，解得：45m ≤<综上所述，(][)2,34,5m ∈U 【点睛】本题考查必要不充分条件的求解、根据复合命题真假性求解参数范围的问题；涉及到曲线表示椭圆和双曲线的基本特征；关键是能够通过复合命题的真假性确定两个命题的真假性.18．设直线l 的方程为(1)20x a y a +--=()a R ∈.（1）若直线l 与直线:280l ax y '+-=平行，求实数a 的值；（2）设直线l 与圆22:670C x y x +--=相交于A 、B 两点，当弦长||AB 取得最小值时，求直线l 的方程. 【答案】（1）1-；（2）112y x =+. 【解析】（1）由两直线平行可构造方程求得a ，验证排除重合的情况即可得到结果； （2）由垂径定理可知若AB 最小，则圆心C 到直线l 的距离d 最大；根据直线过定点()2,2P 可得CP l ⊥时距离d 最大，由此可得直线l 的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1）//l l 'Q ()121a a ∴⨯=-，解得：1a =-或2a = 当1a =-时，:220l x y -+=，:280l x y '-+=满足题意，当2a =时，:40l x y +-=，:40l x y '+-=，此时两直线重合，不满足题意. 综上所述：1a =-（2）圆C 的方程可化为：()22316x y -+= ∴圆心()3,0C ，半径4r =AB =Q =∴要使弦长AB 最小，则圆心C 到直线l 的距离d 最大由题可知：直线()():20l x y a y -+-=过定点()2,2P 当且仅当CP l ⊥时距离d 最大，此时l 的斜率为112CP k -= 故直线l 的方程为：()1222y x -=-，即112y x =+ 【点睛】本题考查直线与圆部分知识的综合应用问题，涉及到根据两条直线平行求解直线方程、直线被圆截得弦长的相关问题的求解；关键是能够明确直线被圆截得弦长等于d 的关系.19．已知双曲线222221x y C a b-=的离心率为，点是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒直线l ，直线l 与双曲线交于不同的A ，B 两点求AB 的长.【答案】（1）22136x y -=；（2）5. 【解析】（1）由离心率和顶点可得到关于,a c 的方程，再结合222b c a =-即可求得标准方程；（2）将直线方程代入双曲线方程得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得结果即可. 【详解】（1）Q 双曲线2222:1x yC a b-=，点)是双曲线的一个顶点ca a ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩3c = 2226b c a ∴=-= ∴双曲线的方程为22136x y -=（2）Q 双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ∴直线l的方程为)3y x =-联立)221363x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：256270x x +-=设()11,,A x y ()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-AB ∴==【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、直线被双曲线截得弦长的求解问题；考查了双曲线的几何性质、弦长公式的相关知识，属于基础应用问题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于点D ，21DF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若112AF F B=u u u r u u u r，求AOB V 的面积. 【答案】（1）22142x y +=；（2）8. 【解析】（1）由离心率、半通径长和椭圆222a b c =+可构造方程组求得22,a b ，从而得到所求方程；（2）当l 与x 轴重合时显然不合题意；当l 与x 轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于12,,y y t 的方程组，求得t ；由11212AOB S OF y y ∆=-，结合韦达定理可求得结果. 【详解】（1）由题意得：2222221c e a b DF a a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2242a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的方程为22142x y +=（2）由（1）知：()1F当l 和x 轴重合时，()2,0A -，()2,0B ，则,,A O B 共线，不满足题意 当l 和x轴不重合时，设：:l x ty =-联立22:142x y C +=消去x 整理得：()22220t y +--=设()11,,A x y ()22,B x y，则12y y +=①，12222y y t -=+…② 由112AF F B =u u u r u u u r可得：122y y =-…③ 由①②③消去1,y 2y 可解得：227t =11212AOBS OF y y ∆∴=-=228t ==+【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆内三角形面积的求解问题，涉及到焦点分弦成比例的问题；关键是能够通过韦达定理形式与向量坐标运算构造出方程组，求得变量t ，从而将所求三角形面积利用韦达定理的形式表示出来，代入t 的值即可求得结果.21．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =. （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.【解析】（1）将直线方程与抛物线方程联立得到12x x +，根据椭圆焦点弦长公式构造等量关系，代入12x x +可得关于直线斜率k 的方程，解方程求得k ，从而得到所求直线方程；（2）由圆心在直线AB 的垂直平分线上、圆心到抛物线准线的距离等于半径可构造方程组求得圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程. 【详解】（1）由题意得：()1,0F ，l 的方程为()()10y k x k =->由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++=，则216160k ∆=+> 设()11,,A x y ()22,B x y 212224k x x k+∴+= ()()1211AB AF BF x x ∴=+=+++22448k k+==，解得：1k =-（舍去）或1k = l ∴的方程为1y x =-（2）由（1）得：AB 的中点坐标为()3,2AB ∴的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为()00,x y则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得：0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩ ∴所求圆的半径4r =或12∴所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查根据椭圆焦点弦长求解参数值、圆的标准方程的求解问题；已知两点及圆的切线求解圆的方程时，通常采用待定系数法，利用圆心在两点连线的垂直平分线上、圆心到切线的距离等于半径来构造方程组求得结果.22．如图所示，椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的右焦点为F ，双曲线22221x y a b-=的渐近线分别为1l 和2l ，过点F 作直线2l l ⊥于点C ，直线l 与1l 交于点P 、与椭圆E 从上到下依次交于点A ，B ．已知直线1l 的倾斜角为30︒，双曲线的焦距为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设1,PA AF λ=u u u r u u u r 2PB BF λ=u u ur u u u r ，证明：12λλ+为定值. 【答案】（1）221124x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由渐近线倾斜角与斜率关系及焦距可构造方程求得22,a b ，进而得到椭圆方程；（2）将直线l 方程与渐近线方程联立可求得6P y =利用定比分点公式表示出12,λλ，则可得到)12121262y y y y λλ++=-+；将直线l 方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入12λλ+中，整理可得定值. 【详解】（1）由题意得：22tan 3016b a a b ⎧==⎪⎨⎪+=⎩o 22124a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆E 的方程为221124x y +=（2）由（1）知：()F ，则直线l的方程为y x =-与y x =联立解得：P y =设()11,,A x y ()22,B x y 则由题知：11111P P y y y y y λ-==--，同理221R yy λ=-)1212122y y y y λλ+∴+=-+由22312x y x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩210403y y -=则123103y y +=-=12461053y y =-=-122065λλ⎛ ⎝⎭∴+=-+=-，为定值【点睛】本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线的简单几何性质、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够利用变量表示出所求式子，进而通过消元、化简等方式消去变量得到定值.。