刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。 比较：
n
1 2 E k I 2
L2 Ek 2I
p2 Ek 2m
1 2 E k mv 2
2、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 F F cos i i i
O
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，该质量元的重力对轴 的元力矩为
O

l
dm
dl
gdm
dM l cos gdm gl cos dl
dM l cos gdm gl cos dl
重力对整个棒的合力矩为
O

l
dm
dl
地位相当 M＝I 与 F ma
m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生 角加速度的原因。
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
mg
一质量为m的物体而下垂。忽略轴处
物理学 9 刚体定轴转动定律的应用举例
张宏浩
1
回顾第7讲的知识
回顾：刚体的转动定律
d I M iz I i 1 dt
n
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚 体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量 成反比。 刚体定轴转动的转动定律
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：

2
1
1 1 2 2 M d I 2 I 1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
四、刚体组对轴的角动量守恒定律
dLz d M iz ( I ) dt dt i 1
n
( M )dt
d ri
dri
Fi
i

M i Fi ri
对i求和，得： dA (
2 1
M )d Md
i
A M d
力矩的功率为：
dA d P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
d d d d MI I I I dt d dt d
t t0 z
L
L0
dLz I I 0
冲量矩
定轴转动刚体的角动量的增量等于 合外力矩对冲量矩。
若 M z 0
有I I 0
对轴的角动量守恒定律 外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对 同一轴的角动量守恒。
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的刚体 当M 0时，I I 0 ,则 0 例：回转仪 2、转动惯量可变的物体
M＝ dM gl cosdl
0
L
2 1 gL cos mgL cos 2 2
gdm
代入转动定律，可得 1 mgL cos M 2 3 g cos 1 2 I 2 L mL 3


0

1
1 1 2 2 Md I 2 I1 2 2
1 代入M＝ mgl cos 2
摩擦，求物体m由静止下落高度h时
的速度和此时滑轮的角速度。
解： 对M：M ＝TR＝I
1 I＝ MR 2 2
对m : mg T ma
a R
g 2
mg
m 解方程得： a mM
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角加速度和角速度。

1 1 2 mgL cos d I 2 2
1 1 2 mgL sin I 2 2

mgL sin I
3 g sin L
1 2 I mL 3
三、定轴转动的动能定律
1、转动动能
1 1 n 1 2 2 2 2 2 E k mi ri ( mi ri ) I 2 i 1 2 i 1 2
当I增大时，就减小； 当I减小时，就增大，从而 I保持不变
例：旋转的舞蹈演员