第6章《二维随机变量》练习题
一、判断题
1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立.（ 1 ）
2．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ 0）
3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ 0 ） 4．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立.（ 0 ）
1.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ
2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从3．设ξξ12,的概率密度函数分别为f t f t 12
(),(),且ξξ12,相互独立, 则(ξξ12,)的联4．设(,)X Y 的联合概率分布为
已知(11)P X Y ===
2
3
，则a=_0.2___，X 的概率分布为_____________=。

5．已知),(Y
X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则
(,)P a X b c Y d <≤<≤=
6．设),(Y X 的联合概率分布为
则X
7．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
其它
当0
,00),()43(>>⎩
⎨
⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 12,
三、计算题
1．设随机变量(,)X Y 的联合密度函数
⎩⎨
⎧<<<=他
其
,20),(x
y x A
y x f
求 (1) 常数A ; (2) 边际密度函数; (3) 讨论X 与Y 的相关性. (1)
.4/1=A (３) ⎰==2
2
,3/4)2/()(dx x X E ⎰⎰==-2
,0)4/()(x
x
dy y dx Y E
⎰⎰==-2
,0)4/()(x
x
dy y xdx XY E c o v (,)()()X
Y E X Y E X E Y
=-= 所以X 与Y 不相关.
2．设(,)X Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧∈=其它
,0),(,6),(D
y
x x y x p ，其中D 为由0,0
x y ==及1x y +=所围区域。

（1）求();PY X ≤（2）求(,)X
Y 的边际密度函数(),(),X Y p x p y
并讨论X 与Y 的独立性；（3）求()E XY 。

（2）求(,)X Y 的边际密度函数
3．二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨⎧<<<<=其他,0,10,),(2x
y x x C y x p ，
试求：（1）常数C ；
（2）边际密度函数)(),(y p x p Y X ，并讨论
X 和Y 的独立性； （3）)2(X Y P <.
4．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是
其它x
y x y x k y x f <<<<⎩
⎨
⎧-=0,100)1(),( 求：（1）系数k ；（2）边缘密度函数；（3）证明X 与Y 不相互独立。

(1)由联合概率密度的性质有
⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-=1),(dy y x f dx
即 ⎰⎰=-x ydy x k dx 0
1
1)1( 从而 k =24
(2) 当0< x<1时， ⎰⎰∞∞
--=-==
x
X x x ydy x dy y x f x f 0
2)1(12)1(24),()(
当x <=0或x>=1时, 0)(=x f X
同理有 其它1
00)1(12)(2<<⎩⎨⎧-=y y y y f Y
(3) 因x y x y f x f y x f Y X <<<<<∀≠0,10)
()(),( 故X 与Y 不相互独立。