高数第一章-Microsoft-Word- 文档1.解:⑴相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相(2)相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等.(3)不相等.因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等.2.解:(1)要使函数有意义，必须4x0x 0所以函数的定义域是((2)要使函数有意义x 3 0lg(1 x) 0x 4 即x 0 ,0) U(0,4]■必须即所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1).(3)要使函数有意义x2 1 0 即x1所以函数的定义域是((4)要使函数有意义1 x 0,1)U( 1,1)U(1,必须1 s i n x1 2si nx 1即 2n5 n7 n 2k n x 2k n2k n x2k n6或66必须 ,(k 为整数).所以函数的定义域是［i k n,6kn, k 为整数.3.解:由已知显然有函数的定义域为(-s ,+x),i. i又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sinx 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].为反函数.1 Xx1__y8.解:(1)由y 「解得 1 y,1 x 1 x所以函数y「的反函数为yc(x 1).(2)由 y ln(x 2) 1得 x e y 12,所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x12(x R).也即nk n x n k n 6 6(k 为整数). 4.解:1 f(0) -1 01 0f( x)1 ( x) 1 ( x)1,1 x 1 0 5.解: f(x 1)(x 1) 1, 0x 126.解: f (g(x))2g(x) ?xl nx1丄 X x 1Flg(f(x))f(f(x)) g(g(x))g(x)ln g(x) xlnxln(xln x).7.证:由y2x 31解得x故函数f(x) 2x 3g(x)G 1是同一个函数,所以f(x) 1的反函数是x 1 2(x R),这与2x 31和g(x)1 x'1, 0 x 1 x, 1 x 3f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x, 2f(x) ?2xy 1y1 (3)由y 32x5解得x 2(log3y 5)2x 2x 2x 2x 2xe sin( x) e e sin x (e e 函数y e 2xe 2xsinx 是奇函数.10.解：⑴函数的定义域为(-8，+ 8 ),当x 0X 0X x 1时，有1X 2，当X 0时，有1X22x 2,1X故X (,),有y2 .即函数yC 有上界.X 又因为函数yr 为奇函数，所以函数的图形关 于原点对称，由对称性及函数有上界知，函数必有X下界，因而函数yr 有界.X ,X 2(x-i x 2)(1 X 1X 2)又由 “ y 21 X 121 X ；时,y1 y2,而 当 X 1 X 2且 X 1X 21 时，y 1 y2X故函数yc 在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+8), Q M 0, x 10 且 x-i M ; x 2 eM0 ^使 ln x 2M1贰5的反函数为y 严3%5) (xy 1 cos 3x 得 cosx 寻 y 1 又 x所以屈数y(4少x arccos ~1又由 1即0 y 2 以,函数 y 1 cos 3x,x [0, n 的3in (0 x 2)■解：(1)Q f( x) J ( x) X1 ( x) f(x) 是偶函数. y arccos 9. 0) [0, n,故cosx 1得 0 1 cos 3x 2,,故可得反函数的定义域为反函数为[0,2],所.1 x . 1 x f(x)⑵Q f( x) e2xsin x) f (x) (1 x2)(1 xf)知,当 X1x且 X 1X21^取 x 0max{x 1, x 2}贝x 0ln x 0x 1ln x22M M所以函数y xlnx 在定义域内是无界的. 一又当0捲X 2时寸~有捲X 20,ln 捲In X 20 ^故 y iy 2(x-ilnxj (x 2 ln x 2) (x 1 x 2) (ln 人 l nx 2) 0 即当Ox 」时恒有 单调递增.1 1解：(1)y (1X 2)4是由 yuju 1si n 2(1 2x)是由 y u 2,u si nv,v 1 1(1 10 x 5)2是由 y u 2,u 1 v,v11 arcsin2 x^是由y u 1,u1 v,X-|x 2y 1 y 2所以函数y x lnx 在(0,呐11. (2) y (3) y(4) y成.x 2复合而成.1 2x 复合而成.10W ,w x 5复合而成.arcsin w, w 2x合12证：(1)设 F(x) f (x) f( 有 F( x) f( x) f(x) F(x) 故f(x) f( X)为偶函数.(2)设 G(x) f(x) f( x),贝 y x 有 G( x) f( x) f( x) [ f (x)故f (x) f( x)为奇函数. 13.解:设年销售批数为x,则准备费为103x;106106X),则(, f( x)]) JG(x)又每批有产品x 件，库存数为2x件,库存费为 泄0.05 — 2x 兀. 1060.05x ---------2x设总费用为，则y 10 14.解：当x 能被20整除，即[20]20时,邮资xx0.80当x 不能被20整除时，即杓 x刃时，由题意知 x邮资y % 1 0.80x 25,综上所述有 其中 20 20整数.15.证:(1)由得y sinh x 2000且X X20 20 2000且X X2020 X X20,120的最大f X 2 ye 1 0分别表示不超过0 xxxe eh 得 e 2xx1 0.80, 0 x 20解方程e 2x2ye x因为e x 0,所以 所ln( y .. 1y 2) sinh xy arcs inhx ln(x y tanh x ⑵由'1 y又由1y得1y 1所以函数ye 2x).y1y ,得2xlnj1 y16.解:S o tanhx的反函数为1 , 1 xIn 2 1 x1 -h(2hcot2y arcta n hx】h(AD BC) 2x 1). BC BC) h(BC hcot ) 从而BCS c hhcotAB BC h2 sin CD (ABhBC 2—— sinCD)hcoth由 h 0，BCShhcotS ° 2 cosS ° h h sin h 2 cos40° , -hsin 40得定义域为(0,Atan40)17.解：⑴X n百,当n时,X n1(2) x n n cos当n 无限增大时，有三种变化趋势：趋向于 趋向于0,趋向于•n2n 1()X n()277，当 n 无限增大时,变化趁势有两 种分别趋于1,-1.18.解：⑴animx ",,要使X n 0品马nn1 N — 只须.取 ，则当n N时,必有人.当 0.001 时,N1 0.001 1000或大于1000的整数.(2) a lim x n nJJ要 X n 0 J n 2 v n i2 2 1J n 2 V n 2麻 V n只要乔 1一即 1飞即可.丄［则当nN0.0001时,19.证:(1),要使，则当n>N 时，恒有3n 13(2),要使5,则当n>N 时恒有 希丄1(3) 0,要使2n 12 2(2 n 1) 4n,只要n1lim 2.故nn55；,只要 3n 1 3 2n 12「 3n 1 3 lim.故n2n 1 22 2aa_n(、n 2a 2n) n?,只要10或大于108的整数.a2n__取-2 2 lim —— 1 n n ，则当n>N时，恒有(4)因为对于所有的正整数n,有6 7个80.99L 9 1 筝7个80.999L 9，从而1,故0,不防设1,要使ln110n 6 7个8 0.99L 9 1N ln10 '则当n N时恒有20.证：Q n imX n 0,由极限的定义知，时恒有而ln ,只要n 1M0,取6 7个8,故]im0.99L9 1,X n a0, N 0,当n N 时，丿由极限的定义知n im x但这个结论的逆不成立.如X n 存在. (1)n,limnX n 1但n im X n不21.解:k(1)Q0 (n 1) nn k (11(1 ) 1n而n im0 0,当k 1 时,n imlim[(n 1)k n k] 0n⑵记 a max{a1, a2,L , a m}则有n n n n n nn a a2L a m m aaa；n .a2 Lnam1m n alim a a,n1lim m nna a,lim na；nn . na2 L a mlim na ： a ； L a1(3)Q (3n )n(1max{a「a 2，L ,a m}12n3nf 1(3 3nf3 (12nlim 3n3, lim(1n2n1 n 13导 3—n 1lim3 — 3n13n )731lim1 0, lim(1 -) 1 n nn lim」1丄1n, n■2,不妨设X k2,则.2、、r~2 2■ 故对所有正整数n 有X n2,即数列X 有上界. 又 Xn 1 X n、2X n X n ,人（.2 X .）显然有只0,又由召2得戈2 ,从而紀& 0即X n 1 X n 即数列x.是单调递增的• 由极限的单调有界准则知，数列X "有极限. 设nimx a,则a 云,于是 去）l nim X n222.证:(1) Q为 X k 1a 22a 2,a 0（不合题意，舍（2）因为 所以 x n 1 11 0 且 n11 X n 0 X n2,即数列有界 4 X X n 1 X n 1-1 X n0,1 X n 1 0知 Xn 1 X n与 XnX 11人11 Xm (1 X n )(1 X n 1)同号，Xn Xn 1从而可推得X n1 X n与X2治同号，1,X2 1 X i 1?,X2 x i 0 2 2而故X n 1 X n 0 即X n 1 X.所以数列｛X"｝单调递增，由单调有界准则知，｛X"｝的极限存在•设n imx n a解得舍去）. aa，_ _1 5 1 5丁,& 丁（不合题意，所以23.证:lim n (1) 0,要使sin只须sinx故⑵只须1 、521，则当x X时，必有0x■0,要使13X2 413 |x|2，则当x X时，必有3K J|i 3x 2 13lim 2 3 故x x 4.(3) o,要使,要使lim 故x1 4x 2.1xsi nx.1 xsin — x1llm xsin 0 x 0xx 2 3肌 x 23只要取 ，则故ximx 242(4)x 2 4时，必有 x 2 4(4)1 4x 2----- 2 2x 1|2x 1| 2 1x —2只须1x一2，取, 则114x 2时，必有 2x(5),要使 只要取，则 时，必有xsi n1x(1)lim飞 3x 3x 1 lim x 21x 324. 解:mx 22123X Xd i(4)limx3x xx 43x 2li mxlim 1 xx 3 ~2 x0.X 1(5)Qxim厂limx1x 1匚 x2 1 lim 2 X xx lim 1丄 xx由无穷大与无穷小的关系知， 1 2n⑹ lim (n 1)(n 2)(n 3)n5n 3him 5n〕lim 5n 1 1 n1 1n lim 1li mxx 21 2x 1⑺因为匚 x 2 11ax(1 a)x 2 (a b)x的次数相同解得1,b25解:(1)li mnn(1lim nb) 12知，分式的分子与分母1项的系数之比为2 (a b) 11 2ax亠4讪冲n2n2n 2,于是1 lim 1 n2⑵ lim 1n11lim n2.2X (3)lim1—x1 X2X ⑷叽丁-X 4 X116X 85X 42x (X 1)2X 1lim(x 2)(X 4)X 4 (X 1)(X 4)01 lim(X1) 0.3 (5) lim X2X..X 2limX 4X 14 x3_____ lim2 . X3 2 X2.23 .'1 23X , Xx2(6)lim ——------X 01 ；1 x2V X逅⑺ lim5X 5 .X -5lim X2(1 1 x2)X 0lim(1 、1 X2) 2.X 0> x23X3 5 ?X"3 5X3 25 X . 5lim _ _ _ _ —X 5、x .5. 5 3 x2(X 5)、、x J535x 3 25(8)陀4(9)[im(1limX(1limXlimX 5(X 5) 3 x2 35X3 25.X .5 2、一 5叽3 x2 3 5X3 25 33 25 1 cot3X 1 cot3Xcotxx)(1X)(1n 11 X2 1 Xcot3Xx2)L (123^5 .lim 3X n(1 cot X) (1 cot X)2(1 cot X)(1 cot X cot X)lim 2—X n(1 cot X)(1 1 cot X cot X)limX n 24X )21 cotx cot X 32cot X cot X 4(x 1)x)(1 X2)L (1(10)lim (1 "(1^L (1 n x)(1 x)n1(1 x)n1limx 1(1 x)n 1(17x)(1 VxVx^)(1仮仮2Vx^)L (1 Vx阪2L xn 1)1依 Vx 2lim ——x 1(1 .x)(1?x3x 2)(1 1 _____ L n 3 1 x 32 3 41 (11)lim 1 -— x 11 x1n!d)L (1 n x n£ L ：歼)lim 』x 1 (1 x)(1 x(12)Qlim 1(2"1^1 x 1x x 11)(x 2)lim x 1 (1 x)(1 x ..(x 2) 2 - lim x 2) x 1 1 xl x m 1( x 1)2lim( x 2x 1) lim x 1 (1 2X 2 x 2x)(1 x x 2) x 21.2x x 1 lim 2 x 1(x 1)2l0g a (1 x)(13)Q - log a (1 x1x)‘1X)'e .log a e1 ln alimlog a(1 x)x 0x(14)令u -X1ln a 1,则log a (1 u),当 x时，ux 所以 题的结果）.x..a 1 limlimu 0lOg a (1u) limlog a(1 u)u 0ln a(利用(13)(15)lim(1 x 02x)sinx3 ln(1 lim esinxx 0 2x)6xln(1lim e2xsinxx2x)xlim 6 ln(1 e * 0 sinx6 1e12x)2xx6 lim limln(1x 0sinx x 012x)2xlnesin x(16)令uV ,26.解:li mx 02x 3 x 2xlimln 所以x 02lim BA 0 x 0 2 x・••当x0时，X2 X3是比2x X2高阶的无穷小量.27.解:小. 小.1 X(1)Q2X 1 1 X・••当limX111 X1时X是与1X2同阶的无穷所以⑵Q壮・••当X 1时，X2)Xlim -X 11i(1X是与2\X)等价的无穷28.解：(1)因为当X 0 时，sinmx~ mx,sinnx〜nx,sin mx mx mlim lim .⑵ ^xcotx lim」X0sinxCOSX limX (COSX0sin Xlimcos x 以1...sinxlimx 0x(3)l i m0L^s2Xx 0xsinx(4)因为当2si n2xlim x 0xsinx2lim sinXx 02.X 0时，ln(1x 2 x 2 'e sin x) ~ e sin x, ,1X21〜Jx2ln(1 e X s in2x)lim ------x 0 1 xx・2,・ e sin xlimx 0lim 2e x limx 0 x 02sin x 2.(5)因为当0时，x 0 xarctan3 x ~ 3x, 以lim 3XX(6) lim 2n sin n limnxsin飞2n xlimn2n(7)因为当arcsin(1 2x) ~ 1 2x 以4x 1 lim x 1 arcsi n(1 2x) lim.x 4x 11 1 2x 2lim(2x 1)(2x 1)x122xli叫2 x 1) 2.x2sin —— 2(8)因为当(9)因为当 (10)时，arctanx 2 2 . X X~ x ,sin 〜 ,arcsin x 〜x, ^所以arcta nx 2lim x 0xsin arcs in x 2li m x 2x 0xx 20 时，sintanx sinx limx 0. 3 sin x —x,sin ------ x 2 2moH x,1 cosx 〜丄x 2,sin23x所以sin x(1 cosx). 3sin x 1 lim x 02cosx为cosx12.当xlimx 03x cosx厂x，所以lns2m oz<2 lim ——x 0(11)因为当xsi n x 2 2_2x xx2 22x 2). arcsinx~ x山仆 x) ~ V 1°x 21 x2x ，所__ x_lim — x 0ln(1 x)arcsl n (12)因为当x 0时，1 cos4xlim x 02sin x xtan x*2sin x ~ x,sin 2x ~ 2x, ^所以2sin 22x2 2二xsec2(2x)lim x 0x (2 xsec x) lim x 0 sin 2x(2x)lim 8 — x 02 xsec xlim(2 xsec x)x 0(13)因^为 ln cosax ln[1 (cosax 1)],ln cosbx ln[1 (cosbx1)],而当x 0时， cos ax 1 0,cos bx 1 故 ，又当xf 0进，1cos ax ~ !a 2x 2,1 2 cosbx ~ 1b 222 x,所以In cosax cosaxlim lim x 0In cosbx x 0 cosbx 11 cosax lim x 01 cosbxlim xsin 2x(14)因为当x时，2c x 0, 2x e 12 2 a x2-b 22x 2 故 所以ln 1 sin 2x sin 2x ,ln2x-2xe2x 2x ， elim 冒/% x 0 ln(x 2 e 2) 2xlim^ x 0In(x 2x—2x、e )X\e )lnlne2x ln lim一xlnmoI Ke- X e叫z <. 2sin x x叫IK .2sin x xe2 x2xe1.29.解:(1)limx limx limxe 2e.(2)limx2xlimx2x10limx10limxlimxe 10 1510e .2、cot 2 x3tan x)(1 13ta n 2x)3ta『xlim(1 x 013tan 2x)3^ln[1 (cos ax 1)] ~ cosax 1,ln[1 (cosbx 1)] ~ cosbx 1,(4)Iim(cos2x)32In cos2x lim e xx 03In cos 2 x 21 (cos2x 1)lim e x 0 '1cos 2x 1 3(cos2 x 1) 2lim e x x 0 In1 cos 2x 1 1 (cos2x 1) (5) lim x[ln(2xx) 1XImotcos2x 1 ...3lim 2 lim Inx 0 x 2x e x 1cos 2 x 1 1 (cos2 x 1) 3li m x 1e2Sin 2 xIn lim 竺x 0lim 1 (cos2 x x "1) 1cos2 x 1 2In e12Inx] Iim 2x2Iim InxI LI n lim 2lnxI n Ii mximo^-1 ILmm。