高二数学期中试卷一. 选择题（45分）（1）等差数列{}a n 中，S 1590=，则a 8的值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 12（2）设{}a n 是公差为-2的等差数列，如果a a a a 1479750++++=…，则a a a a 36999++++…等于（ ）A. 182B. -82C. -80D. 180 （3）抛物线x y =-22的准线方程是（ ）A. y =12B. y =-12 C. x =18 D. x =-18（4）一动圆与两圆x y 221+=和x y x 228120+-+=都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线（5）若()()()2312102+-+--=i m i m i ，则实数m 等于（ ） A. -12B. 2C. -122或 D. 1或2（6）若将20，50，100各加上相同的常数，组成等比数列，则其公比为（ ）A.53B.43C.32 D. 12（7）lim n n n n n n →∞+++++++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1141713212222…（ ）A. 0B. 1C. 32D. 3（8）一个等比数列{}a n 中，S S 10204860==，，则S 30等于（ ）A. 183B. 108C. 75D. 63（9）lim n na a →∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪=120，则a 的取值范围是（ ）A. a <1B. a a <>131或C. 131<<aD. a a <>012或（10）椭圆x y 222591+=的两焦点F F 12，，过F 2引直线L 交椭圆于A 、B 两点，则∆ABF 1的周长为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 20（11）若抛物线y px p 220=>，()与()y q x h q 220=->，()有公共焦点则（ ）A. h p q=-2 B. h p q=+2 C. h q p=-2D. h p q=--2（12）到A （-1，0）和直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为（ ）A. y x 288=-+B. y x 288=+C. x y 288=-+D. x y 288=+（13）若z 为复数且z i --=11，则z 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 21-D. 21+ （14）若椭圆的短轴、焦距、长轴的长度依次成等差数列，则这个椭圆的离心率为（ ）A.34B.45 C. 35 D. 54 （15）已知双曲线x y 229161-=的右焦点为F ，点A （9，2），在双曲线上有一点M ，使MA MF +53的值最小，则最小值是（ ）A. 385B. 365C 345 D. 325二. 填空题（15分）（16）已知a 、b 、c 成等比数列，公比为3，且a 、b+8、c 成等差数列，则b=_____。

（17）计算机的成本不断降低，若每隔5年价格降低13，现在价格8100元，计算机15年后的价格为__________。

（18）在等比数列{}a n 中，a a a a a 1212358+=⋅⋅=，，则()lim n n a a a →∞+++=12…_______。

（19）双曲线x k y k22221691441-+-=的焦距是___________。

（20）顶点在原点，焦点在x 轴的负半轴上的抛物线被直线210x y -+=截得的弦长为15，则抛物线方程是__________________。

三. 解答题（40分）（21）过抛物线y x 24=的焦点作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，求线段PQ 中点的轨迹方程。

（22）已知z i =+1，且z az bz z i 2211++-+=-，求实数a 、b 的值。

（23）已知椭圆的率心率e =32且左焦点与左准线分别为抛物线y x 24=的焦点和准线，求此椭圆方程。

（24）数列{}a n 中，已知S a S n n n=--12， ①求出S S S S 1234，，，。

②猜想数列{}a n 的前n 项和S n 的公式，并加以证明。

③求lim n n S →∞的值。

（25）已知双曲线()x a y ba b 2222100-=>>，，过右焦点F 作第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，且l在双曲线左右两支的交点为A、B。

①求证：点P在双曲线的右准线上。

②求双曲线离心率的取值范围。

【试题答案】一. 选择题。

（1）C （2）B （3）C （4）C （5）B（6）A （7）C （8）D （9）C （10）D（11）A （12）A （13）D （14）B （15）B 二. 填空题。

（16）12 （17）2400元 （18）9 （19）10（20）y x 24=-三. 解答题。

（21）略解：设线段PQ 中点M （x ，y ）为所求轨迹上任意一点 ()y x F 2410=∑，，()∴=-l y k x PQ ：1（k 存在）交抛物线于P （x ，y ），Q （x 2，y 2）两点则y x 22241=<>y x 12142=<>x x xy y y121222+=+=()()()∴<>-<>+-=-124212121：y y y y x x()k y y x x y y y y x ky k x =--=+==-==-21212144211()∴=-y x 221为所求而k 不存在时，PQ 的中点为（1，0），亦在()y x 221=-上yP （x 1，y 1） y 2=2(x-1)O xF （1，0）M （x ，y ）Q （x 2，y 2）（22）解：() z i z i i =+∴=+=11222，()()()() z az b z z i i a i b i i i a b a i ii 221121211121++-+=-∴+++-++=-⇒+++=-即()()a b a i i +++=+21∴+=+=⎧⎨⎩∴=-=⎧⎨⎩a b a a b 12112， ∴=-=a b 12，为所求 （23）解： 抛物线y x =4()∴=-F l x 101，，准线：设M （x ，y ）为所求轨迹上任意一点，且e =32则()x y x -++=113222()()()314141441074482222222x x y x x y x y +=-+-++=-+=即()x y -+=74812122为所求yy’-1 O 1 O’(h ，0) xM （x ，y ）（24）解：① S a S n n n=--12 ∴=--∴=-==--∴=---∴=-+=-+=--+=-=-+=--+=---a a a a S S a S S S S S S S S S S S n n n n n n nn n 1111111213212121212121211222312123234S S S S S S 431234121424512233445=-+=-+=-∴=-=-=-=-，，， ②猜想：S nn n =-+1对S nn n =-+1证明如下：<1>当n =1时，已证：S a 1111112==-+=- <2>设()n k k N =∈，原命题成立即S kk k =-+1当n k =+1时，()S S k k k k k k k k +=-+=--++=-++=-+++112112121111 ∴=+n k 1时，原命题成立由<1>、<2>可知对任意n N ∈，原命题都成立③lim lim limn n n n S k k k→∞→∞→∞=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+=-11111 ∴=-→∞lim n n S 1（25）略解：①()x a y ba b 2222100-=>>，的右焦点F （c ，0）即()Fa b 220+，该双曲线在第一、三象限的渐近线方程为y bax =()()∴=-=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+====⋅=k a bl y a b x c y b a x a b x a c x a c ca c yb a ac ab cl ：2222222 ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪P a c ab c2，在直线x a c =2上，而双曲线右准线为y a c =2 即P 点在双曲线的右准线上yO x② 过双曲线右焦点F 作双曲线左右两支的交点为A 、B()∴>==+>=∴>∴∈+∞b a e c a a b a a ae e ，，为所求222222222222)0 c。