数学思维训练教程数学思维训练教程目录第1讲计算（一）速算与巧算 (1)第2讲计算（二）比较大小、估算、定义新运算16第3讲数字谜、数阵图、幻方 (29)第4讲数论（一）整除、奇偶性、极值问题43第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数 (54)第6讲数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理 (64)第7讲几何（一）平面图形 (74)第8讲几何（二）曲线图形 (93)第9讲几何（三）立体图形 (106)第10讲典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题116第11讲典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 (122)第12讲牛吃草问题 (130)第13讲行程（一）相遇追及（多次）、电车问题137第14讲行程（二）平均速度、变速度、流水、电梯153第15讲行程（三）行程中的比例 (163)第16讲分数与百分数 (177)第17讲工程问题 (187)第18讲浓度与经济问题 (202)第19讲方程 (211)第20讲排列组合 (222)第21讲容斥原理 (233)第22讲抽屉原理 (245)第23讲逻辑推理 (253)第24讲统筹与策略 (271)第1讲 计算（一） 速算与巧算一、知识地图二、基础知识（一）整数计算1、基本公式（1） 加法交换律：a b b a +=+（2） 加法结合律：c b a c b a c b a ++=++=++)()(（3） 减法的性质：()a b c a b c --=-+（4） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯（5） 乘法结合律：()()c b a c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯（6） 乘法分配律：()()a b c a b a c a b c a b a c⨯+=⨯+⨯⨯-=⨯-⨯速算与巧算整数计算基本公式平方、立方公式数列及特殊公式特殊方法分数计算 拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷÷=÷⨯2、平方、立方公式（1） 完全平方公式：2222222222()2()2()222a b a b ab a b a b ab a b c a b c ab bc ac +=++-=+-++=+++++ （2） 平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（3） 完全立方公式：3322333223()33()33a b a a b ab b a b a a b ab +=+++-=-+ （4） 立方和公式：3322()()ab a b a ab b +=+-+（5） 立方差公式：3322()()ab a b a ab b -=-++ 3、数列及特殊公式 （1） 等差数列：A) 通项公式：1(1)n a a n d =+-………………为什么要“n-1”呢？B) 求项数公式：1()1n aa n d -=+………………为什么要“+1”呢？C) 求和公式：1()2na a n S +⨯=………………为什么要“÷2”呢？关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的……如图：10137419252216请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。

例如：a)22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）×3；b)如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，（25-4）÷3=7，所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？c)求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：法一：高斯“配对法”。

例如，在计算1+2+3+…+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是10×4+5=45。

法二：借来还去法。

例如，还是计算1+2+3+…+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+…+3+2+1”，这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。

所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！ 问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变异为同”了！ 如图：++++++++++++++++=2S =S =S 101010101010101010123456789+987654321所以，可以得出，10×9÷2=45回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得：（1+9）×9÷2=45再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：和=（首项+末项）×项数÷2 （2） 等比数列：11n n a a q -=⨯ 11(1)(1)1n a q S q q --=≠- （3） 1123(1)2n n n ++++=⨯⨯+ a) 22221123(1)(21)6n n n n ++++=⨯⨯+⨯+ b) 2233332(1)(1)123[]24n n n n n ⨯+⨯+++++== （4） 2123321n n ++++++++= （5） 211121= 211112321= 211111234554321n n =个（n ≤9） （6） 10110101ab abab ab ababab ⨯=⨯= （7） 100110001abc abcabc abcd abcdabcd ⨯=⨯=这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。

4、特殊方法（1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。

（2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a ，b ，c …… 达到化繁为简的目的。

（二）分数计算1、拆分与裂项（1） 111(1)1n n n n =-⨯++ （2） 1111()()n n k k n n k=-⨯++ (1)k > （3） 1111[](1)(2)(1)(1)(2)2n n n n n n n =-⨯⨯+⨯+⨯++⨯+ （4） 11()()a a n n k k n n k=-⨯++ (11)a k >>且 2、几个常用拆分分数111623=- 511623=+1111234=- 7111234=+ 1112045=- 9112045=+ 1113056=- 11113056=+ 1114267=- 13114267=+ … …3、循环小数化分数0.9a a = 0.090a a = 0.99ab ab = 0.90ab a ab -= 0.999abc abc = 0.990abc a abc -= 0.9900abcd ab abcd -= 请聪明的你，来比较1与0.99999999……的大小？你可能已经知道：0.9999999……=1也就是：0.9=1，可是这是为什么呢？铺垫： 21.0 =90112-=9011312.0 =90012123-=30037 4123.0 =90001231234-=900011114312.0 =9900121234-=4950611 4321.0 =999011234-=111013710.191240.129933123410.12399933312340.12349999======以此题为例推导：1234126110.123499004950-==设 0.1234为A ，那么100A=12.3410000A=1234.34所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12 12341261199004950A -==注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。

分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。

三：经典透析【例1】：（☆☆☆）11192199319994199995++++= 审题要点：1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？ 对了，每一个数都有一个小秘密：11101→+ 1922008→- …2） 发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程：11192199319994199995(101)(2008)(20007)(200006)(2000005)222210126222185++++=++-+-+-+-=+-=专家点评：这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！【例2】（☆☆☆）2387654338765423876544-⨯=审题要点：1） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。

2） 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。

38765433876542(38765431)38765433876544(38765431)→=-→=+详解过程：2222387654338765431387654313876543387654311=--⨯+=--=原式（）（）（）专家点评：做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。

【例3】（☆☆☆☆）222221222350++++=审题要点： 1） 这题看着很熟悉→联想平方求和公式2） 可是起始的数不是21？没关系，缺什么补什么！详解过程：()22222222222222221222350(12320212250)(12320)115051101202141661505110012021(401)640055++++=++++++++-++++=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+-⨯⨯+⎡⎤⎣⎦=专家点评：好的例子。

【例4】（☆☆☆☆）16199573730153.3225⨯+⨯+= 审题要点：1）“73”好像是关键。

2）如果可以提取73，那不是很简单？试试吧！ 详解过程：2n ++②凑整；1995.5730.24731073 2.173(1995.5 2.4 2.1)732000146000=⨯+⨯⨯+⨯=⨯++=⨯=原式专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为73×10，153.3分拆为73×2.1，目的都是为了构造出“公因数”73。

此种构造方法很常用，你学会了吗？【例5】（☆☆☆☆）1111112123123100++++=+++++++审题要点：1） 分母很特别哦：1,12,123,,123100+++++++2） (1)1232n n n +++++=3）12112()(1)(1)12n n n n n n ==-+++详解过程：原式=1111112()2()2()12231n n ⨯-+⨯-++⨯-+=111112(1)223100101⨯-+-++-=12(1)101⨯- =200101专家点评：这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。