一元二次方程及其应用复习【课前热身】 1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是. 3．一元二次方程2230x x --=的根是. 4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为. 5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2.一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)2b x b ac a-±=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】 例1 选用合适的方法解下列方程： （1）)4(5)4(2+=+x x ；（2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？【中考演练】1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________.3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____. 4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④x 2-2y+6=0 ⑤2( x 2+1)=10⑥24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ） A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 6．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 7．解方程(1)x 2－5x －6＝0 ； (2)3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222-x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系复习【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是.3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝. 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝时，两根互为倒数； 当m ＝时，两根互为相反数. 【考点链接】 1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为. （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x . （2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x . 3．易错知识辨析： （1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. （2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ； ②二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典例精析】例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=， （1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数. 例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为. 【中考演练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)=__________，x 12＋x 22＝_________，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是． 5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13- 7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－18．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值. 9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+6m +课时6．反比例函数【课前热身】1．已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是．2．（07梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为． 3．在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜04． （07青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 3 5．（08巴中）如图2，若点A 在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =．【考点链接】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx (k ≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为.【典例精析】例1某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限第象限 第象限 性质 在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而 o y x y x o1-1y O xP （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？ 例2（07四川）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．【中考演练】1．（07福建）已知点(12)-，在反比例函数ky x =的图象上，则k =．2．（07安徽）在对物体做功一定的情况下，力F (牛)与此物体在力的方向上移动的距离s (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P (5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米．3. (08河南)已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为．4.（08宜宾）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x1的图像上，则点C 的坐标是. 5. (08广东)如图,某个反比例函数的图象经过点P, 则它的解析式为( )A.y ＝1x (x>0)B.y ＝－1x(x>0) C.y ＝1x (x<0)D.y ＝－1x (x<0) 6．（08嘉兴）某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ）A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-， 7．（07江西）对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象O yx B A限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小8.（08乌鲁木齐）反比例函数6y x=-的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第二、三象限D ．第一、二象限9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调.（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？10.（07四川）如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象的两个交点. (1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值 的x 的取值范围.相似三角形复习1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．等3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列式成立的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．AE AD BC BD =C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC= 4．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：（1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC AC B C A C =；（3）∠A=∠A ′；（4）∠C=∠C ′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有多少组（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=______．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相似例 2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？例 3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1.如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________． 2 在Rt ABC ∆中, C ∠为直角, ABCD ⊥于点D ,5,3==AB BC ,写出其中的一对相似三角形是 _B(0,－A(3,0 xy和 _ ； 并写出它的面积比_____.3. 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB ＝12,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm4. 如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试证明ABF EAD △∽△．锐角三角函数1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（ ）A ．5B ．3C ．45D ．132．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ） A ．21B ．22 C ．23D ．1 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则cos OAB ∠等于_______．4．︒+︒30sin 130cos =____________．【考点链接】1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值ACDEαab cFA BCDE 【典例精析】例 1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．例2 计算:4sin 302cos 453tan 60︒-︒+︒．例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．1． 在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝13，则sin B ＝( )A ．1010B ．23 C ．34D ．310102．若3cos 4A =，则下列结论正确的为（ ）A ． 0°<∠A <30° B．30°<∠A <45° C ． 45°<∠A <60° D．60°<∠A <90° 3.在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A =．4.计算45tan 30cos 60sin -的值是. 5.已知3tan 30 A -=∠A =则6．△ABC 中，若（sinA －12）2＋|3－cosB|＝0，求∠C 的大小．7.图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC•是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．8. 矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8， E 为AD 边上一点，沿BE 将△BDE 对折，点D 正好落在AB 边上，求 tan ∠AFE ．30° 45° 60° sin α cos α tan α_E _A _D _ O _H解直角三角形及其应用1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）2. 某坡面的坡度为1，则坡角是_______度．3．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( ) A ．150mB ．350mC ．100 mD ．3100m1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B ＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanαOA B C＝i ＝____． 例1Rt ABC ∆的斜边AB ＝5, 中的其他量.3cos 5A =求ABC∆例2海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例题3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_______.（取3 1.73=，结果精确到0.1m ）αACB45︒南北西东60︒ADC B70︒O3．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C= 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)4．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。