z
2 z d x d ydz h4
2
h
z
z2
dz
h4
0
1 h4
2
1 h
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习题
一、利用高斯公式计算曲面积分:
1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 外侧；
2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0 和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧；
3、 xzdydz,其中 是上半球面 z R 2 x 2 y 2 的上侧 .
二、证明:由封闭曲面所包围的体积为
V
1 3
(
x
cos
y cos
z cos
)ds ,式中
cos , cos , cos 是曲面的外法线的方向余弦 .
三、求向量 A (2 x z)i x 2 y j xz 2 k , 穿 过曲面 :
二、简单的应用
例1 计算曲面积分
( x y)dxdy ( y z)xdydz
其中 Σ 为柱面 x2 y2 1及平
面z 0, z 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.
解 P ( y z)x, Q 0,
x
R x y,
1
z
3
o1
y
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
的闭曲面,包围的区域为 ,记体积为V .若
当V 收缩成点 M 时, 极限
A dS
lim
M
V
存在,
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
散度在直角坐标系下的形式
divA P Q R xyz
高斯公式可写成
divAdv AdS
四、小结
1、高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
3、应用的条件
4、物理意义
练习. 利用Gauss公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及
z = h(h>0) 之间部分的下侧. 解:作辅助面
1 h
o
y
x
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2, 取上侧
z
原式
( y z)dxdydz
3
(利用柱面坐标得)
( sin z) d d dz
x
1
o1
y
2
1
dd
3
(sin
z) dz
9.
0
0
0
2
使用Gauss公式时应注意:
1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
例2. 计算
x d y d z y d z d x z d x d y, 其中∑为半球面
记 , 1所围区域为,
则在 1 上
2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
三、a3 (2 a2 ).
6 四、divA ye xy x sin( xy) 2xz sin( xz2 ).
解: 作取下侧的辅助面
z
2
1 : z 1 (x, y) Dx y : x2 y2 1
I
用柱坐标
用极坐标
1
1
1
1
d x d ydz ( 1
1y
Dxy
2
1
dd
0
0
2
cos2 d
0
13
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、物理意义----通量与散度
1.通量的定义: 设有向量场
第六节
高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、高斯(Gauss)公式
定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数, 则有
u( x, y, z) , v( x, y, z)沿 的外法线方向的方向导
数.
证明: (uv
vu)dxdydz
(u
v n
v
u )ds
n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注
2 x 2
2 y 2
2 z 2
,称为拉普拉斯算子)
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
5
4
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
Pdydz Qdzdx Rdxdy A dS
称为向量场 A( x, y, z)向正侧穿过曲面 Σ 的通量.
2. 散度的定义:
设有向量场 A( x, y, z),在场内作包围点 M
为
立方体0 x a , 0 y a ,0 z a 的全表面,流
向外侧的通量 .
四、求向量场 A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k 的散
度.
五、设u( x, y, z) , v( x, y, z)是两个定义在闭区域 上的
具有二阶连续偏导数的函数,u , v 依次表示 n n
的上侧.
z
解:以半球底面 0 为辅助面,
且取下侧, 记半球域为 , 利用 高斯公式有
o
0
y
x
原式 =
0
0
3d xd yd z
x dydz
0
3 2 R3 0 2 R3
3
ydzdx
zdxdy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设 Σ 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧,求
I
(x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
P d y d z Q d z d x Rdx d y (Gauss 公式)
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
由两类曲面积分之间的关系知 ( P Q R )dV xyz (P cos Q cos R cos )dS.
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.