1
M
M 1
f
n0
x j0 ,k
x
1
M
M 1
f
n0
x j,k
x
M 2J j 0,1,2,, J 1
k 0,1,2,,2 j 1
反变换 : 对于j j0,有
f x
1 M
W j0 , k j0,k x
k
1
M
W
j j0
j, k j,k x
计算一维离散小波变换
5.2 多分辨率展开
小波函数
给定尺度函数，则小波函数 (x) 所在的空间跨越了相
邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和V j+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。
尺度及小波函数空间的关系
5.2 多分辨率展开
(x)为一个基本小波或者母小波(Mother Wavelet), 将基本小波(t)经过伸缩和平移后，可以得到小波序列：
m,
n)
l j ,m,n
( x,
y)
n
j0是任意开始尺度，通常取j0 0，且选择
M N 2J , j 0,1, , J 1和m n 0,1, , 2 j 1
二维快速小波变换
5.4 二维离散小波变换
5.4 二维离散小波变换
• 基于小波变换的图像处理 • 计算一幅图像的二维小波变换 • 修改变换 • 计算反变换
1 11 4 1 31 0 1 1
2
W
0,0
1 2
3 x0
f
(x) 0,0 (x)
1 11 4 1 3 1 0 1
2
4
W
1,0
1 2
3 x0
f
(x)1,0 (x)
1 2
1
2 4
2 3 0 0 0 1.5 2
W
1,1
1 2
3 x0
f
( x) 1,1 ( x)
1 2
基于小波的边缘提取
基于小波的噪声去除
2尺度，全局门限94.9093 最高分辨率细节系数置零 所有细节置零
5.5 小波分析在图像处理中的 应用
• 小波的特点：
a）能量集中 b）易于控制各子带噪声 c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。 d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的 特点，能准确定位信号的上升沿
和下降沿。
感谢下 载
感谢下 载
5.1.3 哈尔变换
• 变换矩阵H包含基函数 hk (z)，它定义在连续闭区
间 z 0,1, k 0,1,2,..., N 1 N 2n
k 2 p q 1 0 p n 1, p 0时，q 0或1 p 0时，1 q 2 p
h0 z h00(z)
1 , z 0,1
N
hk (z) hpq (z)
j,k (x) 2 j /2 (2 j x k)( j, k Z )
Wj span j,k x Wj称为尺度为j的小波空间（细节空间）。
5.2 多分辨率展开
因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间 中，任何小波函数可以表示成尺度函数：
x h n 22x n
n
h n 1n h 1 n
5.1 背景
为什么需要多分辨率分析？ • 如果物体的尺寸很小或对比度不高 高分辨率 • 如果物体尺寸很大获对比度很强 低分辨率 • 通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在
5.1.1 图像金字塔
一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状 排列的分辨率逐步降低的图像集合
金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。
沿x轴的宽或窄的程度，而2 j /2 控制其高度或幅度。由于
j,k (x)的形状随j发生变化，(x)被称为尺度函数。
5.2 多分辨率展开
• 尺度函数
任何j,k上的跨度子空间: Vj Span j,k x k
➢j增大时，用于表示子空间函数的 变化即可分开。
j,k
x
范围变窄，x有较小
➢随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数
一个金字塔图像结构
5.1.1 图像金字塔
• 高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用5*5的高斯模板作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中 的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细 节并不会因此而丢失
5.1.1 图像金字塔
高斯和拉普拉斯金字塔编码
拉普拉斯金字塔编码策略
(t) et2 / e2 i0t
2 e(0 )2 / 2
Morlet 小波
5.3 一维小波变换
一维离散小波变换（DWT）
Mexihat小波：
(t) 2 (1 t 2 )et2 /2 3
2 2 4 e2 2 / 2 3
Mexihat小波
5.3 一维小波变换
• 快速小波变换 FWT找到了相邻尺度系数间的一种令人惊喜的关系。 称为Mallat人字形算法，类似于两段子带编码。
1
22p
2 p
2
N
0
(q 1) / 2 p z (q 0.5) / 2 p (q 0.5) / 2 p z q / 2 p 其它
5.1.3 哈尔变换
• N=4时
kpq 000 101 211 312
1 1 1 1
H4
1
1
4 2
1 2
1 0
1
0
0
0
2 2
• N=2时
5.1.3 哈尔变换
的展开系数，k (x) 是具有实数值的展开函数 如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则 k (x) 称为基函数。
5.2 多分辨率展开
• 可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开 集合的闭合跨度，表示为：
V Spank x
k
f (x)V表示f (x)属于k x的闭合跨度
f (x) akk (x)
f ( x, y) j0 ,m,n ( x, y)
x0 y0
1
MN
M 1 N 1
f
( x,
y)
l j
,
m
,n
(
x,
y)
x0 y0
l {1, 2, 3}
f (x, y)
1 MN m
W ( j0 , m, n) j0 ,m,n ( x, y)
n
1
3
MN l 1 j j0 m
Wl
(
j,
jZ
jZ
3.伸缩规则性：f (x) Vj f (2x) Vj1, j Z
4.平移不变性：f (x) Vj
1 f (x 2 j )Vj
V2 V1 V0
5.2 多分辨率展开
子空间的 Vj 展开函数可以被表示为子空间Vj1 的展开函数的加权和。
j,k x an j1,n x
n
其中 j1,n x 2 j1/2 2 j1 x n
小波变换和多分辨率
处理
北京化工大学
小波变换使得图像压缩、传输和分析变得更快捷！ W.X.J
傅里叶变换与小波变换
➢傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 ➢小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
傅里叶变换与小波变换
• 频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能 。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。
5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
例：给定函数
(
x)
sin(
0
x)
0 ≤ x 2
其它
则2, (x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
5.2 多分辨率展开
序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开 函数的线性组合。
f (x) akk (x)
k
其中，k是有限或无限和的整数下标，ak 是具有实数值
k
5.2 多分辨率展开
尺度函数
设(x)是平方可积函数，即(x) L2 (R)，实数二值
尺度伸缩和整数平移函数定义为：
j,k (x) 2 j/2(2 j x k)
j z,k z
则集合{ j,k (x)}是(x)的展开函数集。从上式可以看出，
k决定了 j,k (x)在x轴的位置，j决定了 j,k (x)的宽度，即
哈尔尺度函数系数：
h 0 h (1) 1 2
哈尔小波函数系数：
h 0 (1)0 h (1 0) 1 2 h 1 (1)1h (11) 1 2
x 2x2x 1
1 0 x 0.5
x 1 0.5 x 1
0
其它
5.3 一维小波变换
一维离散小波变换（DWT）
正变换
W j0, k W j, k
W j, k h nW j 1, n n2k,k0 W j, k h nW j 1, n n2k,k0
5.4 二维离散小波变换
对于M×N 的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：
正变换：
W ( j0 , m, n) Wl ( j, m, n) 反变换：
1
MN
M 1 N 1
an改写成h (n)
j,k x h n 2 j1/2 2 j1 x n
n
j，k置0
x h n 22x n
n
5.2 多分辨率展开
• 哈尔尺度函数系数 对于单位高度、单位宽度的哈尔尺度函数系数是
h 0 h (1) 1 2
x 1 22x 1 22x 1
2
2
x 2x2x 1
• 考虑四点的离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因为M= 4,J=2且由于j0=0,对x=0,1,2,3,j=0,1求和。将使用哈尔尺度函 数和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支 撑区上，基函数的值为1.