(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。

表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所 有的”、“凡是”、“任意的”等 量词后边的个体变元，指明对哪个个体变元量化， 称为量词后的指导变元
思考：用E(x)表示“x是偶数”， P(x)表 示“x是素数”，公式会是怎么样？
(4) 如果人都爱美，则漂亮衣服有销路 M(x)：x是人，L(x)：x爱美， C(y)：y是衣服， B(y)：y是漂亮的，S(y)：x有销路
x(M(x)L(x)) y(C(y)∧B(y) S(y))
解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。 （1）所有的人长着黑头发。 令F(x):x长着黑头发， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)→F(x))。 命题真值为假。 （2）有的人登上过月球。 令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)∧G(x))。 命题真值为真。
(b) 凡实数, 或大于零，或等于零，或小于零 R(x)：x是实数 L(x, y)：x＞y E (x, y) ： x = y S(x, y)：x ＜ y x(R(x) L(x, 0)∨ E (x, 0) ∨ S (x, 0))
例 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上过木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。
（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号 化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。

假设论域有限,不妨设论域D={1,2,3}
(1) 如果明天下雨，则某些人将被淋湿 定义命题词P：明天下雨， M(x)：x是人，W(x)：x将被淋湿 P x(M(x)∧ W(x))
(2) 有且仅有一个偶素数 A(x)：x是偶素数 x(A(x)∧ y(A(y)x=y)) 或者 x(A(x)∧¬ y(x≠y∧A(y)) 用符号 !xA(x) 表示有且仅有一个个体满足A (3) 顶多只有一台机器是好的 A(x)：x是好机器 xy(A(x)∧A(y)x=y) 用符号 !!xA(x) 表示顶多有一个个体满足A
解： (1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)→F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。 (2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。

例：苏格拉底论断

前提

不是命题演算 的有效推理
“所有的人都是要死的” “苏格拉底是人” “所以苏格拉底是要死的”
P Q
R

结论

P∧QR
？

例
◦ ◦ ◦ ◦
刻划个体的性质 刻划两个个体的关系
Ｐ1：小张是大学生 Ｐ2：小李是大学生
Q1：2大于3 Q2：6大于4

不同原子命题之间是有内在联系的，但命题逻辑限 定原子命题是不能拆分的，无法研究这种内在联系 解决问题的方法：
◦ xP(x)？
xP(x) P(1)∧ P(2) ∧ P(3)
◦ xP(x)？
xP(x) P(1)∨ P(2) ∨P(3)

若论域无限可数，概念可以推广 两个量词共轭
◦¬ xP(x) x¬ P(x) ◦¬ xP(x) x¬ P(x)
x
A(x) xA(x)
所有教练员都是运动员；(J(x)，L(x)) 某些运动员是大学生；(S(x)) 某些教练员是年老的，但是健壮的； (O(x)，V(x)) 金教练虽不年老，但不健壮；(j) 不是所有运动员都是教练员； 某些大学生运动员是国家选手；(C(x)) 没有一个国家选手不是健壮的； 所有老的国家选手都是运动员； 没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女 (W(x)，H(x)) 有些女同志既是教练员又是国家选手； 所有运动员都钦佩某些教练员；(A(x, y)) 有些大学生不钦佩运动员。
1.小张不是工人 2.张三和李四是表兄弟 4.实数x大于实数y
W(a) a: 小张 P(a,b) a:张三，b:李四 P(a)∧Q(a) a:小莉
3.小莉是非常聪明和美丽的 5.大灰狼偷吃了小羊羔
R(x)∧R(y)∧G(x,y)
R(x):x是实数 G(x,y): x>y P(x)∧Q(y)∧E(x,y)

谓词常项
◦ 一个字母代表一特定谓词（具体的性质或关系）, 则称此 字母为谓词常项(量)。 ◦ 例如P(x)表示“x是质数”这种模式的判断,P就是谓词常项。

谓词变项
◦ 若字母代表任意谓词（泛指的性质或关系）, 则称此字母 为谓词变项

论域
◦ 谓词命名式中个体变项的取值范围 ◦ 个体域与全总域 ◦ 空集不能作为论域
◦ 分析原子命题，分离其主语和谓语 ◦ 考虑一般和个别，全称和存在

3
命题
复合命题 真值表
命题逻辑 数理逻辑 一阶逻辑 命题变项 公式 公式类型 等值演算
范式
推理理论
能够独立存在的事物，思维的对象 通常用小写英文字母a、b、c、...表示个体常项 用小写英文字母Байду номын сангаас、y、z...表示任何个体，则称这些字母为个体
◦ 宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合 ◦ 约定
除特殊说明外，均使用全总个体域 对个体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制
1) 2)
所有的人都是要死的 有的人活百岁以上
D(x)：x是要死的 G(x) ：x活百岁以上 1) x D(x) 2) x G(x)
个体域E为全体人组成的集合
x
A(x) xA(x)
T a2 T …… ……
an
a1
T
F a2 F …… ……
an
a1
F
T
F
总之： 全称命题xA(x) 存在命题xA(x) x取遍论域中 x取遍论域中 1.全称命题xA(x)为真，当且仅当 a∈D，A(a)皆为真 的真值为T 的所有值 的真值为F 的所有值 2.全称命题xA(x)为假，当且仅当a∈D，A(a)为假。 3.存在命题 xA(x) 为真，当且仅当 a∈D，A(a)为真。 关于 x的命题函数 关于x 的命题函数 A(x) 取值皆为 T 4.存在命题 xA(x) 为假，当且仅当 a∈D，A(a) A(x) 取值皆为 F 皆为假。

例 ◦ A(x)：x身体好 B(x)：x学习好 C(x)：x工作好 ◦ 表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不会 好”的复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x))

例
◦ “所有的正整数都是素数” ◦ “有些正整数是素数”
P(a)∧ P(b) P(a)∨ P(b)

假设
◦ 只有两个正整数a和b ◦ 个体域为{a,b} ◦ P(x)：x是素数

谓词逻辑中比较复杂 命题的符号表达式与论域有关系
◦ 例：每个自然数都是整数 ◦ 论域D=N
I(x)：x是整数 x I (x)
◦ 论域为全总个体域
特性谓词N(x)：x是自然数 x(N(x)→I(x))
(1)所有大学生都喜欢一些歌星。 S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星，L(x,y)：x喜欢y x(S(x)→y(X(y)∧L(x,y))) (2)发光的不都是金子。 P(x)：x发光，G(x)：x是金子 x(P(x)→G(x)) (3)某些人对食物过敏 F(x, y)：x对y过敏，M(x)：x是人， G(x)：x是食物 x (M(x)∧y(G(y)∧F(x,y)))
变项
5
在原子命题中，用来刻划一个个体的性质或几个个体之间关系的成 分称为谓词。
刻划一个个体性质的词称为一元谓词； 刻划n个个体之间关系的词称为n元谓词。
谓词与个体词一起才能表示命题。